
\begin{enumerate}
\item On vérifie que $N^2 = \begin{pmatrix}
0&0&0\\
6&18&-18\\
6&18&-18
\end{pmatrix}$ et $N^3 = 0$ (matrice nulle).

\item $A^n = (N+I_3)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}N^kI_3^{n-k}$.
\begin{rem}
Attention: la formule du binôme de Newton fonctionne ici car $N\times I_3=I_3\times N$.

Dans un cas général, le produit matriciel étant non commutatif, elle ne fonctionne pas.
\end{rem}
Or,
\[
\forall k\geqslant3, N^3=0
\]
donc:
\begin{align*}
A^n & = \dbinom{n}{0}N^0I_3^n + \dbinom{n}{1}N^1I_3^{n-1} + \dbinom{n}{2}N^2I_3^{n-2} = I_3 + nN + \dfrac{n(n-1)}{2}N^2\\
A^n & = \begin{pmatrix}3n+1 & 9n & -9n\\3n^2-n & 9n^2-9n+1 & -9n^2+9n\\3n^2 & 9n^2-6n & -9n^2+6n+1\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{enumerate}
