
\begin{enumerate}
\item $\systeme{3x-5y=7,-4x+2y=1} \iff AX = B$, avec $A=\begin{pmatrix}3&-5\\-4&2\end{pmatrix}$, $X=\dbinom{x}{y}$ et $B=\dbinom{7}{1}$.

\bigskip

Ainsi, $X = A^{-1}B = \begin{pmatrix}-\frac{1}{7} & -\frac{5}{14}\\[8pt]-\frac{2}{7} & -\frac{3}{14}\end{pmatrix}\dbinom{7}{1}=\dbinom{-\frac{19}{14}}{-\frac{31}{14}}$.

\bigskip

\underline{On trouve alors $x=-\dfrac{19}{14}$ et $y=-\dfrac{31}{14}$.}

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\item $\systeme{5x+4y=-1,3x-y=2} \iff AX = B$, avec $A=\begin{pmatrix}5&4\\3&-1\end{pmatrix}$, $X=\dbinom{x}{y}$ et $B=\dbinom{-1}{2}$.

\bigskip

Ainsi, $X = A^{-1}B = \begin{pmatrix}\frac{1}{17} & \frac{4}{17}\\[8pt]-\frac{3}{17} & -\frac{5}{17}\end{pmatrix}\dbinom{7}{1}=\dbinom{\frac{7}{17}}{-\frac{13}{17}}$.

\bigskip

\underline{On trouve alors $x=\dfrac{7}{17}$ et $y=-\dfrac{13}{17}$.}

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\item $\systeme{x+y+z=1,x-y+z=2,x+y-z=3} \iff AX = B$, avec $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$

\bigskip

Ainsi, $X = A^{-1}B = \begin{pmatrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[8pt]\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\[8pt] \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[8pt]2\\[8pt]3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
\frac{5}{2}\\[8pt]-\frac{1}{2}\\[8pt]-1\end{pmatrix}$.

\underline{On trouve alors $x=\dfrac{5}{2}$, $y=-\dfrac{1}{2}$ et $z=-1$.}

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\item $\systeme{x+2y+3z=6,x-2y-3z=-6,x+y-2z=0}  \iff AX = B$, avec $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&-2&-3\\1&1&-2\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}6\\-6\\0\end{pmatrix}$

\bigskip

Ainsi, $X = A^{-1}B = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[8pt]-\frac{1}{14} & -\frac{5}{14} & \frac{3}{7} \\[8pt] \frac{3}{14} & \frac{1}{14} & -\frac{2}{7} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}6\\[8pt]-6\\[8pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[8pt]\frac{12}{7}\\[8pt] \frac{6}{7}\end{pmatrix}$.

\bigskip

\underline{On trouve: $x=0$, $y=\dfrac{12}{7}$ et $z=\dfrac{6}{7}$.}
\end{enumerate}
