
\begin{enumerate}
\item Le graphe représentant la situation est le suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\GraphInit[vstyle=Shade]
\tikzset{LabelStyle/.style = {draw=brown,text=brown,fill=white,outer sep=3mm}}
\grProb[Ldist=0.1cm,LposA=0,LposB=180]%
{A}{B}%
{{0,12}}{{0,14}}%
{{0,88}}{{0,86}}%
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item D'après l'énoncé, $a_0=\begin{pmatrix}0,3 & 0,7\end{pmatrix}$.

Alors,
\[
\begin{pmatrix}a_1 & b_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,3 & 0,7
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,88&0,12\\0,14 &0,86\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,362 & 0,638\end{pmatrix}.
\]


\item On a :
\[
P_3=P_0\times M^3=\begin{pmatrix}0,4418 & 0,5582\end{pmatrix}
\]
Ainsi, en $2015+3=2018$, il y aura bien \pourcent{44,2} d'abonnés chez l'opérateur Alpha.


\item
\begin{enumerate}
\item $x$ et $y$ sont deux probabilités dont la somme doit être égale à 1 car nous ne considérons pas d'autres opérateurs ; donc $\boxed{x+y=1}$.
		De plus, l'état stable est défini par l'égalité :
		\[
		P=PM\qquad\text{donc}\qquad\begin{pmatrix}
		x & y		\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
	x & y		\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
	0,88 & 0,12\\0,14 & 0,86
	\end{pmatrix}
	\]
	soit :
	\[
	\begin{pmatrix}
	x & y
	\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
	0,88x+0,14y & 0,12x+0,86y
	\end{pmatrix}\qquad\text{et donc}\qquad\begin{cases}
	x=0,88x+0,14y\\
	y=0,12x+0,86y
	\end{cases}
	\]
	En mettant $x$ et $y$ à droite des signes \og $=$ \fg, on obtient :
	\[
	\begin{cases}
	0=(0,88-1)x+0,14y\\
	0=0,12x+(0,86-1)y
	\end{cases}
	\]
	La deuxième équation donne : $\boxed{0,12x-0,14y=0}$.
	
	Les deux équations encadrées donnent bien le système demandé.
	
\item Le système s'écrit de façon matricielle ainsi :
		\[
		AX=B\qquad,\qquad A=\begin{pmatrix}0,12 & -0,14\\1 & 1		\end{pmatrix}\quad,\quad X=\dbinom{x}{y}\quad,\quad B=\dbinom{0}{1}
		\]
		donc :
		\[
		X=A^{-1}B\approx\dbinom{0,538}{0,462}
		\]

\item De la question précédente, on déduit qu'à longs termes, \pourcent{53,8} des abonnés seront chez Alpha, et \pourcent{46,2} seront chez Bravo.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
