
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Le graphe probabiliste est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\GraphInit[vstyle=Shade]
\tikzset{LabelStyle/.style = {draw=brown,text=brown,fill=white,outer sep=3mm}}
\grProb[Ldist=0.1cm,LposA=0,LposB=180]%
{A}{B}%
{{0,1}}{{0,4}}%
{{0,9}}{{0,6}}%
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La matrice de transition M associé au graphe est :
\[
\text{M}=\begin{pmatrix}0,9 & 0,1\\0,4 & 0,6\end{pmatrix}
\]

\item Au premier lancer,Alice a autant de chances d'atteindre sa cible que de la manquer ; ainsi, $a_1=b_1=0,5$ donc $P_1=\begin{pmatrix}0,5 & 0,5\end{pmatrix}$.

\begin{align*}
P_2 & =P_1M\\
& =\begin{pmatrix}0,5 & 0,5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,9 & 0,1\\0,4 & 0,6\end{pmatrix}\\
& =\begin{pmatrix}
0,5\times0,9+0,5\times0,4 &
0,5\times0,1+0,5\times0,6
\end{pmatrix}\\
P_2 & = \begin{pmatrix}0,65 & 0,35\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on a :
\[ P_{n+1}=P_nM\]
d'où :
\[ P_{n+1}=\begin{pmatrix}a_n & b_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,9 & 0,1\\0,4 & 0,6\end{pmatrix}\]
Ainsi,
\[
P_{n+1}=\begin{pmatrix}
0,9a_n+0,4b_n & 0,1a_n+0,6b_n
\end{pmatrix}
\]
Le premier coefficient de $P_{n+1}$ étant $a_{n+1}$, on a bien :
\[ a_{n+1}=0,9a_n+0,4b_n.\]

\item On sait que $a_n+b_n=1$, donc $b_n=1-a_n$. Ainsi, la relation trouvée précédemment donne :
\begin{align*}
a_{n+1} & = 0,9a_n+0,4b_n\\
& = 0,9a_n+0,4(1-a_n)\\
& = 0,9a_n+0,4-0,4a_n\\
\Aboxed{a_{n+1}& = 0,5a_n+0,4}
\end{align*}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On a l'algorithme complété suivant :

\begin{python}
def stable(n):
    a = 0.5
    b = 0.5
    for i in range(2,n+1):
        a = 0.5 * a + 0.4
        b = 1 - a

    return a,b
\end{python}

\item Pour $n=5$, l'algorithme affiche $a=\numprint{0,78125}$ et $b=\numprint{0,21875}$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
u_{n+1} & = a_{n+1}-0,8\\
& = 0,5a_n+0,4-0,8\\
& = 0,5a_n-0,4\\
& = 0,5(a_n-0,8)\\
& = 0,5u_n
\end{aligned}$

Cette dernière relation de récurrence montre que \suite{u}{n}{} est géométrique de raison $q=0,5$.

Son premier terme est $u_1=a_1-0,8=0,5-0,8=-0,3$.

\item D'après le cours, $u_n=u_1\times q^{n-1}$, donc $u_1=-0,3\times0,5^{n-1}$.

$u_n=a_n-0,8$ donc $a_n=u_n+0,8$, c'est-à-dire \underline{$a_n=0,8-1,3\times0,5^{n-1}$}.

\item $\limite{n}{+\infty}{0,5^{n-1}}=0$ car $0<0,5<1$. Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{a_n}=0,8$.

\`A long terme, on peut donc penser qu'il y a 8 chances sur 10 pour qu'Alice atteigne la cible.\label{rep}

\item On aurait pu chercher l'état stable $P_\infty=\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}$ tel que :
\[ P_\infty = P_\infty M.\]
\[ \begin{pmatrix}a & b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,9 & 0,1\\0,4 & 0,6
\end{pmatrix}
\]
On arrive alors au système :
\[
\begin{cases}
a & = 0,9a+0,4b\\
b & = 0,1a+0,6b
\end{cases}
\]

Le deux équations sont équivalentes en théorie ; on doit donc remplacer l'une d'elles (par exemple la deuxième) par l'équation : $b = 1-a$, ce qui donne :

\[
\begin{cases}
0,1a & =0,4(1-a)\\
b & = 1-a
\end{cases}
\qquad\text{soit:}\qquad
\begin{cases}
0,5a & = 0,4\\
b & = 1-a
\end{cases}
\]

La première équation donne alors $a=0,8$, ce qui correspond au résultat trouvé à la question \ref{rep}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
