
\begin{enumerate}
\item D'après l'énoncé, $P_0=\begin{pmatrix}0,4 & 0,6\end{pmatrix}$.\\
En effet, en 2010, 40\% de la population était dans la zone A, ce qui correspond à une proportion de 0,4.

\item Le graphe est le suivant :

\vspace*{-1cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\GraphInit[vstyle=Shade]
\tikzset{LabelStyle/.style = {draw=brown,text=brown,fill=white,outer sep=3mm}}
\grProb[Ldist=0.1cm,LposA=0,LposB=180]%
{A}{B}%
{{0,2}}{{0,05}}%
{{0,8}}{{0,95}}%
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item
\begin{enumerate}
\item La matrice de transition est : $M=\begin{pmatrix}0,8 & 0,2\\0,05 & 0,95\end{pmatrix}$.
\item La répartition de la population en 2012 est donnée par $P_2$.
\[ P_1 = P_0M = \begin{pmatrix}0,4 & 0,6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,8 & 0,2\\0,05 & 0,95\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,35 & 0,65\end{pmatrix}
\]
\[ P_2 = P_1M = \begin{pmatrix}0,35 & 0,65\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,8 & 0,2\\0,05 & 0,95\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,3125 & 0,6875\end{pmatrix}
\]
\underline{Ainsi, 31,25\% de la population habitera en zone A et 68,75\% en zone B.}
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
On a :
\begin{align*}
P=PM & \iff \begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,8 & 0,2\\0,05 & 0,95\end{pmatrix}\\
& \iff \begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,8a+0,05b & 0,2a+0,95b\end{pmatrix}
\end{align*}
Ainsi:
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
0,8a+0,05b = a\\
0,2a+0,95b=b
\end{array}
\right.
\]
Soit : $ 0,05b=0,2a$. Donc : $b=4a \qquad (1)$.\\

De plus, \[ a+b=1 \iff a=1-b. \]

Ainsi : \[ (1) \iff b=4(1-b)\;, \]
d'où : \[
b=4-4b.\]
On a alors :
\[ b = \frac{4}{5} \qquad \text{et donc} \qquad a = \frac{1}{5}.\]
Finalement, on a : \[\boxed{P = \begin{pmatrix}0,2 & 0,8\end{pmatrix}}\]

\item Le maire a en effet raison de prévoir de nouvelles infrastructures car la proportion d'habitants dans la zone B se rapprochera des 80\%.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{5cm}~
