
\begin{enumerate}
\item Le graphe correspondant \`a cette situation est le suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\clip (-4,-2) rectangle (8,2.1);
\tikzstyle{VertexStyle}=
[shape = circle,
shading = ball,
ball color = brown,
minimum size = 20pt,
draw,color=white]
\tikzstyle{LabelStyle}=[draw=brown,color=brown,fill=white,outer sep=1mm]
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->, thick,%
double = brown,%
double distance = 1pt]
\tikzstyle{LoopStyle}=[->, thick,%
 double = brown,%
double distance = 1pt]
\grProb[Ldist=0.1cm,LposA=0,LposB=180]%
{A}{B}%
{$0,13$}%
 {$0,15$}%
 {$0,87$}%
 {$0,85$}%
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La matrice de transition est :
\[
M = \begin{pmatrix}
0,87 & 0,13\\
0,15 & 0,85
\end{pmatrix}
\]

\item
\begin{itemize}
\item On souhaite calculer $P_1$ :
\[
P_1=P_0\times M=\begin{pmatrix}0,5 & 0,5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0,87 & 0,13\\
0,15 & 0,85
\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}
0,51 & 0,49
\end{pmatrix}=P_1}
\]
\uline{Ainsi, apr\`es 1 ann\'ee, l'entreprise A d\'etiendra \pourcent{51} du march\'e.}

\item On souhaite calculer $P_5$ :
\[
P_5=P_0\times M^5=\boxed{\begin{pmatrix}
0,5288 & 0,4712
\end{pmatrix}=P_5}
\]
\uline{Ainsi, apr\`es 5 ann\'ees, l'entreprise A d\'etiendra \pourcent{52,88} du march\'e.}
\end{itemize}

\item Notons $P=\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}$ l'\'etat stable du graphe. Alors, par d\'efinition:
\[
P=PM \qquad \text{soit}\qquad \begin{pmatrix}
a & b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0,87 & 0,13\\
0,15 & 0,85
\end{pmatrix}.
\]
On arrive ainsi au syst\`eme suivant :
\[
\systeme[][:]{0,87a+0,15b=a:0,13a+0,85b=b}
\]
ou encore, en faisant tout passer \`a gauche :
\[
\systeme[][:]{-0,13a+0,15b=0:0,13a-0,15b=0}
\]
On obtient ainsi deux \'equations \'equivalentes (car la 1\iere{} est l'oppos\'ee de la 2\up{nde}).

De plus, $a+b=1$ car $a$ et $b$ sont les deux seules  probabilit\'es de notre situation.

On a finalement le syst\`eme suivant :
\[
\systeme[][:]{a+b=1:0,13a-0,15b=0}
\]
que l'on peut aussi \'ecrire de fa\c{c}on matricielle :
\[
AX=B\qquad,\qquad A=\begin{pmatrix}
1&1\\0,13&-0,15\end{pmatrix}\quad,\quad X=\dbinom{a}{b}\quad,\quad B=\dbinom{1}{0}.
\]
Ainsi,
\[
X=A^{-1}B=\boxed{\dbinom{0,5357}{0,4643}}
\]
ce qui signifie qu'\uline{\`a longs termes, l'entreprise A poss\`edera \pourcent{53,57} du march\'e.}
\end{enumerate}
