
\begin{enumerate}
\item Le graphe probabiliste est le suivant, o\`u F repr\'esente l'\'etat \og fumeur \fg{} et $\evcont{F}$ l'\'etat \og non-fumeur \fg{}   :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\clip (-4,-2) rectangle (8,2.1);
\tikzstyle{VertexStyle}=
[shape = circle,
shading = ball,
ball color = brown,
minimum size = 20pt,
draw,color=white]
\tikzstyle{LabelStyle}=[color=brown,fill=white,outer sep=1mm,draw=brown]
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->, thick,%
double = brown,%
double distance = 1pt]
\tikzstyle{LoopStyle}=[->, thick,%
 double = brown,%
double distance = 1pt]
\grProb[Ldist=0.1cm,LposA=0,LposB=180]%
{F}{\evcont{F}}%
{$0,4$}%
 {$0,1$}%
 {$0,6$}%
 {$0,9$}%
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La matrice de transition de ce graphe est : $A=\begin{pmatrix}0,6 & 0,4\\0,1 & 0,9\end{pmatrix}$, et par d\'efinition, si on note\linebreak $P_n=\begin{pmatrix}f_n & g_n\end{pmatrix}$, alors $P_{n+1}=P_n \times A$.

\item On cherche $f_2$, donc $P_2$.
\[
P_2=P_0 \times A^2=\begin{pmatrix}
0,275 & 0,725
\end{pmatrix}.
\]
\uline{Ainsi, \`a la g\'en\'eration de rang 2, il y a \pourcent{27,5} de fumeurs.}

\item Notons $P=\begin{pmatrix}f & g\end{pmatrix}$ l'\'etat stable du graphe. Alors, par d\'efinition, $P=P\times A$ :
\[
\begin{pmatrix}f & g\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}f & g\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,6 & 0,4\\0,1 & 0,9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,6f+0,1g & 0,4f+0,9g\end{pmatrix}
\]
Ainsi,
\[
\systeme[][:]{0,6f+0,1g=f:0,4f+0,9g=g}\qquad\text{soit}\qquad\systeme[][:]{-0,4f+0,1g=0:0,4f-0,1g=0}
\]
Ces deux \'equations sont \'equivalentes car l'une est l'oppos\'ee de l'autre, donc on peut n'en prendre qu'une des deux.

De plus, $g=1-f$, ce qui donne :
\begin{align*}
0,4f-0,1g=0 &\iff 0,4f-0,1(1-f)=0\\
& \iff 0,4f-0,1+0,1f=0\\
& \iff 0,5f=0,1\\
& \iff f = \dfrac{0,1}{0,5}\\
& \iff f = 0,2.
\end{align*}

L'\'etat stable est donc $\boxed{P=\begin{pmatrix}
0,2 & 0,8\end{pmatrix}}$, ce qui signifie qu'\uline{\`a longs termes, il y aura \pourcent{20} de fumeurs et donc \pourcent{80} de non-fumeurs.}

\item De la question 2, on d\'eduit :
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
f_{n+1} & g_{n+1}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
f_n & g_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0,6&0,4\\0,1&0,9\end{pmatrix} & \Longrightarrow
 f_{n+1}=0,6f_n+0,1g_n\\
 & \iff f_{n+1}=0,6f_n+0,1(1-f_n)\\
 & \iff f_{n+1}=0,6f_n+0,1-0,1f_n\\
 & \iff \boxed{f_{n+1}=0,5f_n+0,1}
\end{align*}
\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
u_{n+1} & = f_{n+1}-0,2\\
& = 0,5f_n+0,1-0,2\\
& = 0,5f_n-0,1\\
& = 0,5\left(f_n-\dfrac{0,1}{0,5}\right)\\
& = 0,5(f_n-0,2)\\
& = 0,5u_n.
\end{aligned}$

Ainsi, \suite{u}{n}{} est une suite g\'eom\'etrique de raison $q=0,5$. Son premier terme est alors :
\[
u_0=f_0-0,2=0,5-0,2=0,3.
\]
\item D'apr\`es le cours, $u_n=u_0\times q^n$, donc $\boxed{u_n=0,3 \times 0,5^n}$.
\item On sait que $u_n=f_n-0,2$, donc $f_n=u_n+0,2$, c'est-\`a-dire :
\[
f_n=0,3 \times 0,5^n + 0,2
\]
\item $0<0,5<1$ donc d'apr\`es le cours, $\limite{n}{+\infty}{0,5^n}=0$. Alors, $\limite{n}{+\infty}{\big(0,3\times0,5^n\big)}=0$ et donc $\boxed{\limite{n}{+\infty}{f_n}=0,2}$.

On peut interpr\'eter ce dernier r\'esultat en disant qu'\`a longs termes, il y aura \pourcent{20} de fumeurs, ce qui n'est pas une surprise dans la mesure o\`u on l'avait d\'ej\`a trouv\'e \`a la question 4.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
