
\begin{enumerate}
\item Le graphe est le suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\GraphInit[vstyle=Shade]
\tikzset{VertexStyle/.style = {draw,
shape = circle,
shading = ball,
ball color = brown,
minimum size = 24pt,
color = white}}
\tikzset{EdgeStyle/.style = {thick,double = brown,double distance = 1pt}}
\Vertex{A}
\Vertex[x=1,y=1]{B}
\Vertex[x=1,y=-1]{E}
\Vertex[x=1.5,y=0.5]{F}
\Vertex[x=2,y=-0.5]{I}
\Vertex[x=2.5,y=1.5]{L}
\Vertex[x=3,y=-1]{P}
\Vertex[x=-1,y=-1]{T}
\Edge(F)(E)
\Edge(F)(L)
\Edge(F)(I)
\Edge(F)(B)
\Edge(F)(A)
\Edge(P)(E)
\Edge(B)(A)
\Edge(B)(L)
\Edge(A)(T)
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La matrice d'adjacence de ce graphe est (en mettant les sommets dans l'ordre alphab\'etique :
\begin{center}
A, B, E, F, I, L, P et T.
\end{center}
\[
M=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ % A
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ % B
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ % E
1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ % F
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ % I
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ % L
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ % P
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]

\newpage

\item En calculant $M^4$, on voit que le coefficient \`a la 3\ieme{} ligne et 1\iere{} colonne est 9, donc il y a 9 voyages comportant 4 travers\'ees de fronti\`eres entre l'Espagne et l'Allemagne :

\begin{multicols}{3}
E-P-E-F-A

E-F-I-F-A

E-F-B-F-A

E-F-L-F-A

E-F-L-B-A

E-F-A-T-A

E-F-A-B-A

E-F-A-F-A

E-F-E-F-A
\end{multicols}

Parmi ces voyages, tous comportent au maximum deux pays identiques.
\end{enumerate}
