
\begin{enumerate}
\item Le graphe probabiliste représentant la situation est le suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\GraphInit[vstyle=Shade]
\tikzset{LabelStyle/.style = {draw=brown,text=brown,fill=white,outer sep=3mm}}
\grProb[Ldist=0.1cm,LposA=0,LposB=180]%
{A}{B}%
{{0,3}}{{0,1}}%
{{0,7}}{{0,9}}%
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La matrice de transition est : $M=\begin{pmatrix}0,7 & 0,3\\0,1 & 0,9\end{pmatrix}$.

\item On calcule : $\begin{pmatrix}
\numprint{150000} & \numprint{350000}
\end{pmatrix}M^5=\begin{pmatrix}
\numprint{126944} & \numprint{373056}
\end{pmatrix}$.

\medskip


\underline{Il y aura donc \numprint{126944} habitants dans la ville A et \numprint{373056} dans la ville B.}

\item L'état stable $P$ du graphe est tel que $P=PM$, soit $PI=PM$ (où $I$ est la matrice identité).

Alors, $PI-PM=0$ et donc $P(I-M)=0$.

\[
I-M=\begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
0,7&0,3\\0,1&0,9
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0,3 & -0,3\\
-0,1 & 0,1
\end{pmatrix}
\]
Ainsi, en posant $P=\begin{pmatrix}
a & b
\end{pmatrix}$ avec $a+b=1$ :
\[
P(I-M)=0 \iff \begin{pmatrix}
a & b
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0,3 & -0,3\\
-0,1 & 0,1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 0
\end{pmatrix}\qquad,\qquad a+b=1
\]
soit :
\begin{align*}
\begin{cases}
0,3a-0,1b=0\\
a+b=1
\end{cases} & \iff
\begin{cases}
0,3a=0,1b\\
a+b=1
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
a=\dfrac{0,1b}{0,3}\\
a+b=1
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
a=\dfrac{1b}{3}\\
\dfrac{b}{3}+b=1
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
a=\dfrac{1b}{3}\\[10pt]
\dfrac{b}{3}+\dfrac{3b}{3}=\dfrac{3}{3}
\end{cases}
\end{align*}

\begin{align*}
\begin{cases}
0,3a-0,1b=0\\
a+b=1
\end{cases} & \iff
\begin{cases}
a=\dfrac{1b}{3}\\[10pt]
4b=3
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
a=\dfrac{1}{3}b\\[10pt]
b=\dfrac{3}{4}
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
a=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\\[10pt]
b=\dfrac{3}{4}
\end{cases}
\end{align*}

L'état stable du graphe est donc $\begin{pmatrix}
0,25 & 0,75
\end{pmatrix}$, ce qui signifie qu'à longs termes, un quart de la population totale des deux villes se trouvera dans la ville A et les autres dans la villes B.

La population totale des deux villes est $\numprint{150000}+\numprint{350000}=\numprint{500000}$ habitants et\linebreak
 $\numprint{500000}\div4=\numprint{125000}$.

\medskip

\underline{Donc \numprint{125000} habitants seront dans la ville A et \numprint{375000} seront dans la ville B.}
\end{enumerate}
