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% Couleurs

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% styles des titres

%%% Titre de la fiche

\renewcommand{\title}[1]{%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill=bleuciel,ellipse,decorate,decoration={random steps,segment length=3pt,amplitude=2pt}, align=center,inner ysep=5mm, inner xsep=0pt,ball color=bleuciel] (titre) {\ECFJD\Huge #1};
\node[below] (auteur) at (titre.south) {\ECFJD Une fiche de cours de Stéphane Pasquet - Mise à jour : \today};
\node[below] at (auteur.south) {(\url{https://courspasquet.fr})\qquad\qquad(\url{https://mathweb.fr})};
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

%%% section

\titleformat{\section}[block]
{\ECFJD\fontsize{16}{14}\selectfont\color{bleu}}
{\thesection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% subsection

\titleformat{\subsection}[block]
{\ECFJD\fontsize{12}{12}\selectfont\color{orangesanguine}}
{\thesubsection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
{\ECFJD\color{vert}}{\theparagraph}{1em}{}

%%% pied et tête de page

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\cfoot{\ECFJD\Large\color{white}\fcolorbox{bleu}{bleu}{\thepage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(\LenToUnit{5mm},\LenToUnit{5mm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\draw[fill=yellow!10,draw,thick,decorate,decoration = {random steps}] (0,0) rectangle +(\dimexpr\paperwidth-10mm,\dimexpr\paperheight-10mm);
		\end{tikzpicture}
	}
}

\title{Matrices}


\section*{Définitions}

\subsection*{Dimensions d'une matrice}

Une matrice est de dimensions $n \times m$ si elle a $n$ lignes et $m$ colonnes, $n\neq0$ et $m\neq0$.

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $n=1$, on dira que $A$ est une \textit{matrice ligne}.
\item[$\bullet$] Si $m=1$, on dira que $A$ est une \textit{matrice colonne}.
\item[$\bullet$] Si $n=m$, on dira que $A$ est une\textit{ matrice carrée}.
\end{itemize}

\subsection*{Notation}

On pourra noter une matrice $A = (a_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\1\leqslant j\leqslant m}}$ une matrice de dimensions $n\times m$, ou plus simplement: $A = (a_{i,j})$, avec $\dim(A)=n\times m$.

\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
\subsection*{Matrices identités}

$I_n = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & & & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
\subsection*{Matrices diagonales}

$D_n=\begin{pmatrix}
a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & a_2 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & a_3 & \cdots & 0\\
\vdots & & & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & a_n
\end{pmatrix}$
\end{minipage}

\subsection*{Puissances d'une matrice diagonale}
\vspace*{-1em}
\[
D = \begin{pmatrix}
a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & a_2 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & a_3 & \cdots & 0\\
\vdots & & & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & a_n
\end{pmatrix} \iff D^p = \begin{pmatrix}
a_1^p & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & a_2^p & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & a_3^p & \cdots & 0\\
\vdots & & & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & a_n^p
\end{pmatrix}
\]

\subsection*{Matrices inversibles et matrice inverse}

On appelle \textit{matrice inverse de $A$}, quand elle existe, l'unique matrice, notée $A^{-1}$, telle que:
\[
A \times A^{-1} = A^{-1}\times A = I_n.
\]

\subsubsection*{Matrices d'ordre 2}

\vspace*{-1em}
\[
\begin{cases}
A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}\\
ad-bc\neq0
\end{cases}
\iff
A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\-c & a\end{pmatrix}.
\]

\newpage

\section*{\'Ecritures matricielles}

\subsection*{Systèmes linéaires}

\[
\begin{cases}
a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2 + \cdots + a_{1,n}x_n = b_1\\
a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2 + \cdots + a_{2,n}x_n = b_2\\
\vdots\\
a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2 + \cdots + a_{n,n}x_n = b_n\\
\end{cases} 
\iff
AX = B
\]
avec 
\[
A = \begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n}
\end{pmatrix}
\qquad,\qquad
X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}
\qquad,\qquad
B = \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}.
\]

\subsubsection*{Résolution}
\[
AX = B \iff X = A^{-1}B.
\]

\subsection*{Suites}

On pose: $U_n = \begin{pmatrix}u^{(1)}_n \\ u^{(2)}_n \\ \vdots \\ u^{(p)}_n\end{pmatrix}$ où les $u^{(k)}_n$ ($1 \leqslant k \leqslant p$) sont $p$ suites numériques et $A = \begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,p}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,p}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{p,1} & a_{p,2} & \cdots & a_{p,p}
\end{pmatrix}$ et:
\[
U_{n+1} = AU_n.
\]

\subsubsection*{Résolution}
\[
\forall n\in\N,\qquad U_n=A^nU_0.
\]
\end{document}