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% Couleurs

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% styles des titres

%%% Titre de la fiche

\renewcommand{\title}[1]{%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill=bleuciel,ellipse,decorate,decoration={random steps,segment length=3pt,amplitude=2pt}, align=center,inner ysep=5mm, inner xsep=0pt,ball color=bleuciel] (titre) {\ECFJD\Huge #1};
\node[below] (auteur) at (titre.south) {\ECFJD Une fiche de cours de Stéphane Pasquet - Mise à jour : \today};
\node[below] at (auteur.south) {(\url{https://courspasquet.fr})\qquad\qquad(\url{https://mathweb.fr})};
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

%%% section

\titleformat{\section}[block]
{\ECFJD\fontsize{16}{14}\selectfont\color{bleu}}
{\thesection}
{1em}
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%%% subsection

\titleformat{\subsection}[block]
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{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
{\ECFJD\color{vert}}{\theparagraph}{1em}{}

%%% pied et tête de page

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\lhead{}
\cfoot{\ECFJD\Large\color{white}\fcolorbox{bleu}{bleu}{\thepage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(\LenToUnit{5mm},\LenToUnit{5mm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\draw[fill=yellow!10,draw,thick,decorate,decoration = {random steps}] (0,0) rectangle +(\dimexpr\paperwidth-10mm,\dimexpr\paperheight-10mm);
		\end{tikzpicture}
	}
}

\title{Dérivabilité de fonctions}

\section*{Définitions}

\subsection*{Dérivabilité en un point}

On dit qu'une fonction est dérivable en un point $a$ si $\limite{h}{0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)$ est un nombre fini.

\medskip

Si on pose $x=a+h$, cela revient à dire que $\limite{x}{a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$ est finie.

\subsection*{Dérivabilité sur un intervalle}

Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$.

\section*{Dérivabilité et continuité (théorème)}

Si $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ alors elle est continue sur $I$.

\paragraph*{Remarque:} la réciproque est fausse.

\section*{Formules}

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\rowcolor{bleuciel!20}\hline
Fonction  & Dérivée \\
\hline
$\e^u$ & $u'\e^u$  \\
\hline
$\sqrt{u}$ & $\dfrac{u'\strut}{2\sqrt{u}\strut}$ \\
\hline
$u^n$  & $nu'u^{n-1}$ \\
\hline
$\ln (u)$ & $\dfrac{u'}{u\strut}$  \\
\hline
$\sin(u)$ & $u' \times \cos (u)$ \\
\hline
$\cos(u)$ & $-u' \times \sin(u)$  \\
\hline
$u\big[v(x)\big]$ & $v'(x) \times u'\big[v(x)\big]$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{document}