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% Couleurs

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% styles des titres

%%% Titre de la fiche

\renewcommand{\title}[1]{%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill=bleuciel,ellipse,decorate,decoration={random steps,segment length=3pt,amplitude=2pt}, align=center,inner ysep=5mm, inner xsep=0pt,ball color=bleuciel] (titre) {\ECFJD\Huge #1};
\node[below] (auteur) at (titre.south) {\ECFJD Une fiche de cours de Stéphane Pasquet - Mise à jour : \today};
\node[below] at (auteur.south) {(\url{https://courspasquet.fr})\qquad\qquad(\url{https://mathweb.fr})};
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

%%% section

\titleformat{\section}[block]
{\ECFJD\fontsize{16}{14}\selectfont\color{bleu}}
{\thesection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% subsection

\titleformat{\subsection}[block]
{\ECFJD\fontsize{12}{12}\selectfont\color{orangesanguine}}
{\thesubsection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
{\ECFJD\color{vert}}{\theparagraph}{1em}{}

%%% pied et tête de page

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\lhead{}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(\LenToUnit{5mm},\LenToUnit{5mm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\draw[fill=yellow!10,draw,thick,decorate,decoration = {random steps}] (0,0) rectangle +(\dimexpr\paperwidth-10mm,\dimexpr\paperheight-10mm);
		\end{tikzpicture}
	}
}

\title{\'Equations différentielles}

\section*{y' = ay}
$a$ est un réel.
\[
\boxed{y'=ay \iff y(x)=C\e^{ax},\quad C\in\R}
\]

Pour déterminer la valeur de $C$, il faut nécessairement une condition sur la fonction $y$ (connaître une image).

\paragraph*{Exemple:} trouver la fonction $y$ telle que $y'=3y$ avec $y(0)=2$.
\[
y'=3y\iff y(x)=C\e^{3x}\quad\text{avec}\quad y(0)=2\iff C\e^{3\times0}=2\iff C=2.\]
Donc la fonction est $\boxed{y(x)=2\e^{3x}}$.

\section*{y' = ay + b}
$a$ est un réel.
\[
\boxed{y'=ay+b \iff y(x)=C\e^{ax}-\frac{b}{a},\quad C\in\R}
\]

\paragraph*{Exemple:} résoudre l'équation $y'=-2y+3$.
\[
y'=-2y+3 \iff y(x)=C\e^{-2x}-\dfrac{3}{-2} \iff \boxed{y(x)=C\e^{-2x}+\frac{3}{2},\quad C\in\R}.\]

\section*{y' = ay + f}
$f$ est une fonction, $a$ est un réel.
\[
\boxed{y'=ay+f \iff y(x)=C\e^{ax} + u(x),\quad C\in\R,\quad u\text{ solution particulière de l'équation différentielle}}
\]

\paragraph*{Exemple:} résoudre l'équation différentielle $y'=3y+x^2$.
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item \textbf{Solution particulière:} $u$ doit être un polynôme de degré 2 maximum (même nature que $f(x)$).\\
On pose alors $u(x)=ax^2+bx+c$ et $u'(x)=2ax+b$.\begin{align*}
u'(x)-3u(x)=x^2 & \iff (2ax+b)-3(ax^2+bx+c) = x^2\\
& \iff -3ax^2 + (2a-3b)x + (b-3c)=x^2\\
& \iff \begin{cases}
-3a=1\\
2a-3b=0\\
b-3c=0
\end{cases}\\
& \iff a=-\frac{1}{3},\quad b=-\frac{2}{9}, \quad c = -\frac{2}{27}.
\end{align*}
Donc $u(x)=-\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{9}x-\frac{2}{27}$.

\bigskip

\item \textbf{Solution de l'équation différentielle:}
\[
\boxed{y(x)=C\e^{3x}-\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{9}x-\frac{2}{27},\quad C\in\R}
\]
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{document}