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% Couleurs

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% styles des titres

%%% Titre de la fiche

\renewcommand{\title}[1]{%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill=bleuciel,ellipse,decorate,decoration={random steps,segment length=3pt,amplitude=2pt}, align=center,inner ysep=5mm, inner xsep=0pt,ball color=bleuciel] (titre) {\ECFJD\Huge #1};
\node[below] (auteur) at (titre.south) {\ECFJD Une fiche de cours de Stéphane Pasquet - Mise à jour : \today};
\node[below] at (auteur.south) {(\url{https://courspasquet.fr})\qquad\qquad(\url{https://mathweb.fr})};
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

%%% section

\titleformat{\section}[block]
{\ECFJD\fontsize{16}{14}\selectfont\color{bleu}}
{\thesection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% subsection

\titleformat{\subsection}[block]
{\ECFJD\fontsize{12}{12}\selectfont\color{orangesanguine}}
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{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
{\ECFJD\color{vert}}{\theparagraph}{1em}{}

%%% pied et tête de page

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\lhead{}
\cfoot{\ECFJD\Large\color{white}\fcolorbox{bleu}{bleu}{\thepage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(\LenToUnit{5mm},\LenToUnit{5mm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\draw[fill=yellow!10,draw,thick,decorate,decoration = {random steps}] (0,0) rectangle +(\dimexpr\paperwidth-10mm,\dimexpr\paperheight-10mm);
		\end{tikzpicture}
	}
}

\title{Limites de fonctions}

\section*{Limites usuelles}

\subsection*{Fractions}

\begin{center}
$\boxed{n \in\N,\ \limite{x}{+\infty}\dfrac{1}{x^n}=0}$
\qquad
$\boxed{n \in\N,\ \limite{x}{-\infty}\dfrac{1}{x^n}=0}$
\qquad
$\boxed{n \in\N,\ \limite{x}{0}\dfrac{1}{x^{2n}}=+\infty}$

\bigskip

$\boxed{n \in\N,\ \limite{x}{0\\x<0}\dfrac{1}{x^{2n+1}}=-\infty}$
\qquad
$\boxed{n \in\N,\ \limite{x}{0\\x>0}\dfrac{1}{x^{2n+1}}=+\infty}$

\bigskip

$\boxed{\limite{x}{+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=0}$
\qquad
$\boxed{\limite{x}{0}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=+\infty}$
\end{center}

\subsection*{Exponentielle \& logarithme népérien}

\begin{center}
\begin{multicols}{2}
$\boxed{\limite{x}{-\infty}\e^x=0}$
\qquad
$\boxed{\limite{x}{+\infty}\e^x=+\infty}$

\bigskip

$\boxed{\limite{x}{0}x\e^x=0}$
\qquad
$\boxed{n\in\N,\ \limite{x}{+\infty}\dfrac{\e^x}{x^n}=+\infty}$

\columnbreak

$\boxed{\limite{x}{0}\ln x=-\infty}$
\qquad
$\boxed{\limite{x}{+\infty}\ln x=+\infty}$

\bigskip

$\boxed{\limite{x}{0}x\ln x=0}$
\qquad
$\boxed{n\in\N,\ \limite{x}{+\infty}\dfrac{\ln x}{x^n}=0}$
\end{multicols}
\end{center}

\section*{Formes indéterminées}

\subsection*{$\infty - \infty$ et $\dfrac{\infty}{\infty}$ (quand x tend vers un infini)}

On factorise par le terme \og le plus fort \fg (de plus haut degré dans le cas des polynômes).

\paragraph*{Exemple 1.} $f(x)=x^2\e^x - x\e^{2x} = x\e^{2x}\big(x\e^{-x}-1\big)$

\medskip

\phantom{Exemple 1.}$\left.
\begin{array}{l}
\limite{x}{+\infty}{x\e^{2x}=+\infty}\\[4mm]
\limite{x}{+\infty}{x\e^{-x}}=0
\end{array}
\right\} \overset{(\text{par produit})}{\Longrightarrow}  \limite{x}{+\infty}f(x)=-\infty.
$

\paragraph*{Exemple 2.} $f(x)=\dfrac{x\e^x+1}{\e^{2x}+3} = \dfrac{x\e^x\left(1+\frac{1}{x\e^x}\right)}{\e^{2x}\big(1+3\e^{-2x}\big)} = \dfrac{x\left(1+\frac{1}{x\e^x}\right)}{\e^{x}\big(1+3\e^{-2x}\big)}$

\medskip

\phantom{Exemple 2.}$\left.
\begin{array}{l}
\limite{x}{+\infty}{\frac{1}{x\e^{x}}=0}\\[4mm]
\limite{x}{+\infty}{3\e^{-2x}}=0
\end{array}
\right\} \overset{(\text{par produit})}{\Longrightarrow}  \limite{x}{+\infty}f(x)=\limite{x}{+\infty}\dfrac{x}{\e^x}=0.
$

\subsection*{$0 \times \infty$}

On se ramène au cas \og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg{} car \og $0 \times \infty = \dfrac{1}{\infty} \times \infty = \dfrac{\infty}{\infty}$  \fg.

\newpage

\subsection*{$\dfrac{0}{0}$ (quand x tend vers un nombre fini)}

On peut se ramener à un taux d'accroissement ou, si c'est possible, multiplier par l'expression conjuguée (quand il y a au moins une racine carrée).

\paragraph*{Exemple 3.} Limite quand $x\to0$ de $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{\sqrt{x}}=\dfrac{\big(\sqrt{x+4}-2\big)\textcolor{red}{\big(\sqrt{x+4}+2\big)}}{\sqrt{x}\textcolor{red}{\big(\sqrt{x+4}+2\big)}}=\dfrac{x}{\sqrt{x}\big(\sqrt{x+4}+2\big)}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+4}+2}$.

On en déduit que $\limite{x}{0}f(x)=\dfrac{\sqrt0}{\sqrt{0+4}+2}=0$.

\paragraph*{Exemple 4.} Limite quand $x\to0$ de $f(x)=\dfrac{\e^x-1}{\sin x}=\dfrac{\e^x-\e^0}{x-0}\times\dfrac{x-0}{\sin x-\sin0}$.

$\limite{x}{0}\dfrac{\e^x-\e^0}{x-0}=u'(0)=1$ avec $u(x)=\e^x$

\medskip

$\limite{x}{0}\dfrac{\sin x-\sin0}{x-0}=v'(0)=1$ avec $v(x)=\sin x$ et $v'(x)=\cos x$. Donc $\limite{x}{0}\dfrac{x-0}{\sin x-\sin 0}=\dfrac{1}{1}=1$.

\bigskip

Donc $\limite{x}{0}f(x)=\limite{x}{0}\dfrac{\e^x-\e^0}{x-0} \times \limite{x}{0}\dfrac{x-0}{\sin x-\sin 0} =1\times1=1$.

\section*{Théorème de composition}

$f(x)=u\big[ \textcolor{red}{v(x)} \big]$. Si $\limite{x}{a}\textcolor{red}{v(x)} = b$ et si $\limite{\textcolor{red}{X}}{b}u(X)=\ell$ alors $\limite{x}{a}f(x)=\ell$.

\paragraph*{Exemple 5.} $f(x)=\e^{\frac{x+3}{x-5}}$.

\medskip

$\left.
\begin{array}{l}
\limite{x}{+\infty}\textcolor{red}{\underbrace{\frac{x+3}{x-5}}_{X}}=1\\[8mm]
\limite{\textcolor{red}{X}}{1}\e^X = \e^1
\end{array}
\right\}\overset{\text{(par composition)}}{\Longrightarrow}\limite{x}{+\infty}f(x)=\e^1.
$

\section*{Théorème de comparaison}

$\boxed{f(x) \leqslant u(x)\text{ et }\limite{x}{a}u(x)=-\infty\text{ donc }\limite{x}{a}f(x)=-\infty}$
\qquad
$\boxed{v(x) \leqslant f(x)\text{ et }\limite{x}{a}v(x)=+\infty\text{ donc }\limite{x}{a}f(x)=+\infty}$

\paragraph*{Exemple 6.} $f(x)\geqslant \e^x$ et $\limite{x}{+\infty}\e^x=+\infty$ donc $\limite{x}{+\infty}f(x)=+\infty$.

\section*{Théorème des gendarmes (théorème d'encadrement)}

\[
\boxed{u(x) \leqslant f(x) \leqslant v(x)\text{ et }\limite{x}{a}u(x)=\limite{x}{a}v(x)=\ell\text{ donc }\limite{x}{a}f(x)=\ell}
\]

\paragraph*{Exemple 7.} $-\dfrac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{1}{x}$ et $\limite{x}{+\infty}\left(-\dfrac{1}{x}\right)=\limite{x}{+\infty}\dfrac{1}{x}=0$ donc $\limite{x}{+\infty}f(x)=0$.

\section*{Asymptotes}

Si $\limite{x}{\pm\infty}f(x)=a$ alors la droite d'équation $y=a$ est asymptote (horizontale) à la courbe représentative de $f$.

\medskip

Si $\limite{x}{b}f(x)=\pm\infty$ alors la droite d'équation $x=b$ est asymptote (verticale) à la courbe représentative de $f$.

\end{document}