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% Couleurs

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% styles des titres

%%% Titre de la fiche

\renewcommand{\title}[1]{%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill=bleuciel,ellipse,decorate,decoration={random steps,segment length=3pt,amplitude=2pt}, align=center,inner ysep=5mm, inner xsep=0pt,ball color=bleuciel] (titre) {\ECFJD\Huge #1};
\node[below] (auteur) at (titre.south) {\ECFJD Une fiche de cours de Stéphane Pasquet - Mise à jour : \today};
\node[below] at (auteur.south) {(\url{https://courspasquet.fr})\qquad\qquad(\url{https://mathweb.fr})};
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

%%% section

\titleformat{\section}[block]
{\ECFJD\fontsize{16}{14}\selectfont\color{bleu}}
{\thesection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% subsection

\titleformat{\subsection}[block]
{\ECFJD\fontsize{12}{12}\selectfont\color{orangesanguine}}
{\thesubsection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
{\ECFJD\color{vert}}{\theparagraph}{1em}{}

%%% pied et tête de page

\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\lhead{}
\cfoot{\ECFJD\Large\color{white}\fcolorbox{bleu}{bleu}{\thepage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(\LenToUnit{5mm},\LenToUnit{5mm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\draw[fill=yellow!10,draw,thick,decorate,decoration = {random steps}] (0,0) rectangle +(\dimexpr\paperwidth-10mm,\dimexpr\paperheight-10mm);
		\end{tikzpicture}
	}
}

\title{Primitives \& intégration}

\section*{Primitives}

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sl|Sc|}
\hline\rowcolor{bleuciel}
Fonction usuelle & \multicolumn{2}{c|}{ Ses primitives }\\
\hline
$x \mapsto 1$   & $x\mapsto x + k$ & $k\in \R$\\
\hline 
$x \mapsto x^n \quad 
\begin{array}{c}
\text{avec } x \in \R \text{ si } n \in \N^* \\ 
\text{et } x \neq 0 \text{ si } -n \in \N
\end{array}$
& 
$x \mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+k$\rule[-1mm]{0pt}{8mm}  & $k\in \R$\\
\hline
$x \mapsto \dfrac{1}{x}$\rule[-2mm]{0pt}{8mm} avec  $x > 0$ & $x \mapsto \ln x+k$ & $k\in \R$\\
\hline
$x \mapsto \dfrac{1}{x^2}$  avec $x \neq 0$ & $x \mapsto -\dfrac{1}{x}+k$\rule[-4mm]{0pt}{10mm}  & $k\in \R$\\
\hline
$x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}$\rule[-4mm]{0pt}{10mm} avec  $x > 0$ & $x \mapsto 2\sqrt{x}+k$ & $k\in \R$\\
\hline
$x\mapsto \e^x$ & $x \mapsto \e^x +k$ & $k\in \R$\\
\hline
$x \mapsto \sin x$ & $x \mapsto -\cos x +k$ & $k\in \R$\\
\hline
$x\mapsto \cos x$ & $x \mapsto \sin x + k$ & $k\in \R$\\
\hline
$u'u^n$ & $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ \rule[-4mm]{0pt}{11mm} & $n\in\Z\setminus\{-1\}$\\
\hline
$\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ & $2\sqrt{u}$ & $u>0$ sur $I$.\rule[-4mm]{0pt}{10mm}\\
\hline
$\dfrac{u'}{u}$ & $\ln u$ & $u>0$ sur $I$.\rule[-4mm]{0pt}{10mm} \\
\hline
$u'\e^u$ & $\e^u$ & \rule[-2mm]{0pt}{6mm} \\
\hline
$x\mapsto f(ax+b)\quad a\neq0$ & $x\mapsto\dfrac{1}{a} F(ax+b)$ & $F$ primitive de $u$ sur $I$. \rule[-4mm]{0pt}{10mm} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

\section*{Intégration}

\subsection*{Relation de Chasles}

\begin{center}
$\boxed{\dint_a^bf(x)\dx=\int_a^cf(x)\dx+\int_c^bf(x)\dx}$ 
\end{center}

\subsection*{Linéarité}

\begin{center}
$\boxed{\dint_a^b\big(\lambda f(x) + \mu g(x)\big)\dx=\lambda\int_a^bf(x)\dx + \mu\int_a^bg(x)\dx}$
\end{center}

\subsection*{Positivité de l'intégrale}

\[
\boxed{\text{Pour tout $x$ sur \intervFF{a}{b}},\ f(x)\geqslant0 \iff \dint_a^bf(x)\geqslant0 }
\]

\subsection*{Intégration des inégalités}

\[
\boxed{\text{Pour tout $x$ sur \intervFF{a}{b}},\ f(x)\geqslant g(x) \iff \dint_a^bf(x)\geqslant \int_a^bg(x)\dx }
\]

\subsection*{Calcul d'une intégrale}
\[
\boxed{\dint_a^b f(x)\dx = F(b)-F(a) = \big[F(x)\big]_a^b,\quad F\text{ primitive de }f}
\]

\subsection*{Intégration par parties}

\[
\boxed{\int_a^b u'(x) \times v(x) \dx = \big[ (uv)(x) \big]_a^b - \int_a^b u(x) \times v'(x)\dx}
\]

\subsection*{Valeur moyenne d'une fonction f sur [a;\;b]}
\[
\boxed{\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\dx}
\]
\end{document}