
\begin{enumerate}
\item Pour cette question, on aura besoin de voir que $n^2=n \times n = n \times \sqrt{n} \times \sqrt{n}$.

Ainsi, $\dfrac{n^2}{\sqrt{n}}=n\sqrt{n}$.

$u_n=\dfrac{n^2+3n-2}{\sqrt{n}+1}=\dfrac{n^2\left(1+\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}\right)}{\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}=\dfrac{n\sqrt{n}\left(1+\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}\right)}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}$, pour $n>0$.

Or, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{a}{n^k}}=0$ et $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}}=0$ donc:
\[ \boxed{ \limite{n}{+\infty}{u_n} = \limite{n}{+\infty}{\big(n\sqrt{n}\big)}=+\infty} \]

\item $v_n=\sqrt{\dfrac{4n+1}{n+2}}=\sqrt{\dfrac{n\left(4+\frac{1}{n}\right)}{n\left(1+\frac{2}{n}\right)}}=\sqrt{\dfrac{4+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}}$, pour $n>0$.

Or, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{a}{n^k}}=0$ donc:
\[
\boxed{ \limite{n}{+\infty}{v_n} = \sqrt{\dfrac{4}{1}} = 2 }
\]

\item $w_n=\dfrac{2\sqrt{n}+n-3}{\sqrt{n}+1}=\dfrac{n\left(\frac{2\sqrt{n}}{n}+1-\frac{3}{n}\right)}{\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}=\dfrac{\sqrt{n}\left(\frac{2}{\sqrt{n}}+1-\frac{3}{n}\right)}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}$, pour $n>0$.

Or, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{a}{n^k}}=0$ et $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{a}{\sqrt{n}}}=0$ donc:
\[
\boxed{ \limite{n}{+\infty}{w_n} = \limite{n}{+\infty}{\dfrac{\sqrt{n}}{1}}=+\infty}
\]
\end{enumerate}
