
\begin{enumerate}
\item ~\par
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (-2,0) -- (12,0);
\draw (0,-.2)--(0,0.2) node[above] {A$_0$};
\draw (10,-.2)--(10,0.2) node[above] {B$_0$};
\draw (5,-.2)--(5,0.2) node[above] {A$_1$};
\draw (2.5,-.2)--(2.5,0.2) node[above] {B$_1$};
\draw (3.75,-.2)--(3.75,0.2) node[above] {A$_2$};
\draw ({7/16},-.2)--({7/16},0.2) node[above] {B$_2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{itemize}
\begin{multicols}{2}
\item $a_1=\dfrac{a_0+b_0}{2}=\dfrac{1}{2}$
\item $b_1=\dfrac{a_0+a_1}{2}=\dfrac{1}{4}$
\item $a_2=\dfrac{a_1+b_1}{2}=\dfrac{3}{8}$
\item $b_2=\dfrac{a_1+a_2}{2}=\dfrac{7}{16}$
\end{multicols}
\end{itemize}

\item On peut s'inspirer de ce qui a été fait à la question précédente pour écrire :
\[
\boxed{a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}}\qquad;\qquad\boxed{b_{n+1}=\dfrac{a_n+a_{n+1}}{2}}
\]

\item $\begin{aligned}[t]
u_{n+1} & = a_{n+1}-b_{n+1}\\
& = \dfrac{a_n+b_n}{2}-\dfrac{a_n+a_{n+1}}{2}\\
& = \dfrac{b_n-a_{n+1}}{2}
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
u_{n+1} & = \dfrac{b_n-\frac{a_n+b_n}{2}}{2}\\
& = \dfrac{2b_n-a_n-b_n}{4}\\
& = \dfrac{b_n-a_n}{4}\\
& = -\dfrac{1}{4}\times(a_n-b_n)\\
\Aboxed{u_{n+1} & =-\dfrac{1}{4}u_n}
\end{aligned}$

\underline{La suite \suite{u}{n}{} est donc géométrique de raison $q=-\dfrac{1}{4}$.}

\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = 3a_{n+1}+2b_{n+1}\\
& = \dfrac{3a_n+3b_n}{2}+\dfrac{2a_n+2a_{n+1}}{2}\\
& = \dfrac{5a_n+3b_n+2a_{n+1}}{2}\\
& = \dfrac{5a_n+3b_n+2\frac{a_n+b_n}{2}}{2}\\
& = \dfrac{10a_n+6b_n+2a_n+2b_n}{4}\\
& = \dfrac{12a_n+8b_n}{4}\\
& = 3a_n+2b_n\\
\Aboxed{v_{n+1}& = v_n}
\end{aligned}$

\underline{Ainsi, la suite \suite{v}{n}{} est constante.}

\item D'après les questions 3 et 4, on a :
\[
\left\{
\begin{array}{l@{~=~}ll}
u_n & a_n-b_n & L_1\\
v_n & 3a_n+2b_n & L_2
\end{array}
\right.\quad \text{soit :} \quad
\left\{
\begin{array}{l@{~=~}ll}
3u_n-v_n & -5b_n & 3L_1-L_2\\
2u_n+v_n & 5a_n& 2L_1+L_2
\end{array}
\right.
\]
D'où :
\[
a_n=\dfrac{2u_n+v_n}{5}\qquad\text{et}\qquad b_n=\dfrac{v_n-3u_n}{5}.
\]
Or, \suite{u}{n}{} est géométrique donc :
\[ u_n=u_0q^n=\underbrace{(-1)}_{=a_0-b_0}\times\left(-\dfrac{1}{4}\right)^n.\]
De plus, \suite{v}{n}{}est constante donc :
\[ v_n=v_0=3a_0+2b_0=2.\]
On a alors :
\[
\boxed{a_n=\dfrac{-2\left(-\frac{1}{4}\right)^n+2}{5}}\qquad\text{et}\qquad \boxed{b_n=\dfrac{2+3\left(-\frac{1}{4}\right)^n}{5}}.
\]

Or, $\limite{n}{+\infty}{\left(-\dfrac{1}{4}\right)^n}=0$ car $-1<-\dfrac{1}{4}<1$. Ainsi,
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}{a_n}=\dfrac{2}{5}}\qquad\text{et}\qquad\boxed{\limite{n}{+\infty}{b_n}=\dfrac{2}{5}}.
\]

On peut déduire alors que les points A$_n$ et B$_n$ se rapprochent de plus en plus du point d'abscisse $\dfrac{2}{5}$.
\end{enumerate}
