
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

Pour $n=2$, $\begin{aligned}[t]
(1+x)^n & = (1+x)^2 = 1+2x+x^2\\
1+nx & = 1+2x
\end{aligned}$

Or, $x^2>0$ donc $1+2x+x^2>1+2x$; ainsi, $(1+x)^2 > 1+2x$.

\medskip

L'in\'egalit\'e est donc vraie au rang $n=2$.

\medskip

\item \textbf{H\'er\'edit\'e.}


On suppose que l'in\'egalit\'e est vraie au rang $n$, c'est-\`a-dire que l'on suppose que pour un entier $n$ quelconque sup\'erieur strictement \`a 1 :
\[
\forall x \geqslant-1,\ x\neq0,\ (1+x)^n>1+nx\qquad {\rm(HR)}
\]
et on souhaite d\'emontrer que :
\[
\forall x \geqslant-1,\ x\neq0,\ (1+x)^{n+1} > 1+(n+1)x.
\]
$\forall x \geqslant-1,\ x\neq0$, on a :
\begin{align*}
(1+x)^{n+1} & = (1+x)^n \times (1+x)\\
& > (1+nx)\times(1+x)\qquad\text{par HR}\\
& > 1+nx+x+x^2\qquad\text{en d\'eveloppant}\\
& > 1+(n+1)x+x^2.
\end{align*}
Or, $x^2>0$ donc $1+(n+1)x+x^2>1+(n+1)x$, d'o\`u:
\[
(1+x)^{n+1}>1+(n+1)x.
\]
Ainsi, si l'in\'egalit\'e est vraie \`a un rang $n$ quelconque, elle l'est aussi au rang $n+1$ : l'h\'er\'edit\'e est d\'emontr\'ee.
\end{itemize}

Par cons\'equent, l'in\'egalit\'e de Bernoulli est vraie pour tout entier naturel $n$ sup\'erieur strictement \`a 1.
