
\begin{enumerate}
\item Résolvons dans \N l'inéquation:
\begin{align*}
4n > 2(n+1) & \iff 4n > 2n + 2\\
& \iff 2n > 2\\
& \iff n > 1.
\end{align*}

\item Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 3$,
\[
\mathcal{P}(n):\qquad 2^n > 2n.
\]
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation:} pour $n=3$, $2^n=2^3=8$ et $2n=2\times3=6$.

$8 > 6$ donc $2^3 > 2\times3$.

$\mathcal{P}(3)$ est donc vraie.

\bigskip

\item \textbf{Hérédité:} supposons que pour un entier $k$ arbitrairement fixé, $\mathcal{P}(k)$ est vraie.

Montrons alors que $\mathcal{P}(k+1)$ est aussi vraie, c'est-à-dire que $2^{k+1} > 2(k+1)$.

\begin{align*}
\mathcal{P}(k)\text{ vraie} & \Rightarrow 2^k > 2k\\
& \Rightarrow 2\times2^k > 2 \times 2k\\
& \Rightarrow 2^{k+1} > 4k \,{\color{red} > 2(k+1) \text{ (d'après la question précédente car $k>1$)}}\\
& \Rightarrow \mathcal{P}(k+1) \text{ vraie}.
\end{align*}

L'hérédité est alors prouvée.

\item \textbf{Conclusion:} d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n \geqslant 3$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
