
\begin{enumerate}
\item Calculons :\vspace{-2em}
\begin{multicols}{3}
\begin{align*}
u_1 & = \frac{1}{2-u_0}\\
\Aboxed{u_1& = \frac{1}{2}}\\
~ & ~
\end{align*}

\columnbreak


\begin{align*}
u_2 & = \frac{1}{2-u_1}\\
u_2& = \frac{1}{2-\tfrac{1}{2}}\\
\Aboxed{u_2& = \frac{2}{3}}
\end{align*}

\columnbreak

\begin{align*}
u_3 & = \frac{1}{2-u_2}\\
u_3& = \frac{1}{2-\tfrac{2}{3}}\\
\Aboxed{u_3& = \frac{3}{4}}
\end{align*}
\end{multicols}

\item Posons $P(n)$ la propriété : $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
\begin{itemize}
\item {\bfseries Initialisation.}\\
Faite dans la question 1.\enlargethispage*{\baselineskip}
\item {\bfseries Hérédité.}\\
Supposons que pour un entier naturel $k$, $P(k)$ est vraie (H.R.). Montrons alors que $P(k+1)$ l'est aussi, c'est-à-dire que $u_{k+1}=\dfrac{n+1}{n+2}$.
\begin{align*}
u_{k+1} & = \frac{1}{2-u_n} = \frac{1}{2-\tfrac{n}{n+1}}\quad\text{(H.R.)}\\
& = \frac{1}{\tfrac{2(n+1)-n}{n+1}} = \frac{n+1}{n+2}.
\end{align*}

L'hérédité est alors vérifiée.

\medskip

\item {\bfseries Conclusion.}\\
Quel que soit l'entier naturel $k$, $P(k)\Rightarrow P(k+1)$.\\
Ainsi, d'après le principe de récurrence, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel~$n$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
