
\begin{enumerate}
\item L'arbre est celui d'un schéma de Bernoulli de 10 répétitions, dont on ne garde pas les branches issues d'un succès. C'est ce que l'on appelle une \og loi géométrique tronquée \fg, c'est-à-dire une répétition d'une épreuve de Bernoulli (donc à deux issues) lorsque l'une d'elle est obtenue (en l'occurrence, \og P \fg, c'est-à-dire l'événement : \og la carte est perdante \fg.

\begin{center}
\includegraphics{varind-02}
\end{center}

\item On note $G$, l'issue de l'épreuve de Bernoulli : \og la carte achetée est gagnante \fg{} et $P$ : \og la carte est perdante \fg. L'oncle achète 4 cartes exactement si les 3 premières ne sont pas gagnantes, et si la dernière est gagnante. Il faut donc calculer \par $P(P,P,P,G)=0,88^3\times 0,12 \approx0,082$.

\item L'oncle achète 10 cartes si les 9 premières sont perdantes. La dernière carte n'a pas d'importance puisqu'il s'arrêtera de toute façon car il aura dépensé 20 euros.

La probabilité est donc $0,88^9\approx0,316$.

\item L'oncle ne gagne rien si les 10 cartes achetées sont perdantes. La probabilité de cet événement est $0,88^{10}\approx0,279$.

\item
\begin{enumerate}
\item L'oncle dépense $2n$ euros lorsqu'il achète $n$ cartes. Pour tout entier $n$ tel que\linebreak $1\leqslant n < 10$, il achète $n$ cartes si les $n-1$ premières sont perdantes, donc  on a  $P(X=2n)=0,88^{n-1}\times 0,12$.

Par contre $P(X=20)= 0,88^9$.

On peut résumer la loi de probabilité de $X$ dans le tableau suivant contenant les valeurs approchées au millième:

\medskip

{\hspace*{-5mm}\small
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige}\color{pagecorrige}}l|*{10}{Sc|}}
 \hline
$x_i$ & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12&14&16&18&20\\
\hline
$P(X=x_i)$ & $0,12$ & $0,106$ & $0,093$ & $0,082$ & $0,72$ & $0,063$ &$0,056$&$0,049$&$0,043$&$0,316$\\
\hline
\end{tabular}}


\item On calcule l'espérance de $X$ grâce à la formule du cours et on obtient\linebreak $E(X)\approx12,02$.

Cela signifie que sur un grand nombre de semaines, l'oncle peut envisager dépenser en moyenne $12,02$~euros par semaine.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace*{2cm}
