
\begin{attention}
Dans mon cours, j'ai inséré la propriété \ref{prop:fracrat} sur les limites des fractions rationnelles, mais beaucoup d'enseignants ne l'utilisent pas et préfèrent passer par la méthode générale consistant à factoriser le numérateur et le dénomunateur par le terme de plus haut degré. C'est ainsi que je vais corriger toutes les questions portant sur les limites de fractions rationnelles pour aider au mieux les élèves.
\end{attention}
\begin{enumerate}
\item  $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{3-x}{4+x}}$. Pour $x>0$:
\begin{align*}
\dfrac{3-x}{4+x} & = \dfrac{x\left( \frac{3}{x}-1 \right)}{x\left( \frac{4}{x}+1 \right)}\\
& = \dfrac{\frac{3}{x}-1}{\frac{4}{x}+1}.
\end{align*}
\newpage
Or, $\limite{x}{+\infty}{\frac{1}{x^n}}=0$ donc:
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{+\infty}{\left( \frac{3}{x}-1 \right)}=-1$;
\item $\limite{x}{+\infty}{\left( \frac{4}{x} + 1\right)}=1$.
\end{itemize}
Ainsi, par quotient,
\[
\boxed{ \limite{x}{+\infty}{\dfrac{3-x}{4+x}} = -1 }
\]

\item $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{x^2-3x+2}{2x^2+1}}$. Pour $x>0$:
\begin{align*}
\dfrac{x^2-3x+2}{2x^2+1} & = \dfrac{\cancel{x^2}\left( 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} \right)}{\cancel{x^2}\left( 2 + \frac{1}{x} \right)}\\
& = \dfrac{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} }{ 2 + \frac{1}{x} }.
\end{align*}
Or, $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{1}{x^n}}=0$ donc:
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{+\infty}{\left( 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} \right)} = 1$;
\item $\limite{x}{+\infty}{\left( 2 + \frac{1}{x} \right)} = 2$.
\end{itemize}
Ainsi, par quotient,
\[
\boxed{ \limite{x}{+\infty}{\dfrac{x^2-3x+2}{2x^2+1}} = \dfrac{1}{2} }
\]

\item $\limite{x}{-\infty}{\dfrac{x^2+5x-7}{x^2+3x-1}}$. Pour $x<0$:
\begin{align*}
\dfrac{x^2+5x-7}{x^2+3x-1} & = \dfrac{\cancel{x^2}\left(1 + \frac{5}{x} - \frac{7}{x^2} \right)}{\cancel{x^2}\left(1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2} \right)}\\
& = \dfrac{ 1 + \frac{5}{x} - \frac{7}{x^2} }{ 1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2} }.
\end{align*}
Or, $\limite{x}{-\infty}{\dfrac{1}{x^n}}=0$ donc:
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{-\infty}{\left( 1 + \frac{5}{x} - \frac{7}{x^2} \right)} = 1$;
\item $\limite{x}{-\infty}{\left( 1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2} \right)} = 1$.
\end{itemize}
Ainsi, par quotient,
\[
\boxed{ \limite{x}{-\infty}{\dfrac{x^2+5x-7}{x^2+3x-1}} = 1 }
\]

\item $\limite{x}{-\infty}{\dfrac{4x^2+7x-9}{x-1}}$. Pour $x<0$:
\begin{align*}
\dfrac{4x^2+7x-9}{x-1} & = \dfrac{x^2\left(4+\frac{7}{x}-\frac{9}{x^2}\right)}{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}\\
& = \dfrac{x\left(4+\frac{7}{x}-\frac{9}{x^2}\right)}{1-\frac{1}{x}}.
\end{align*}
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{-\infty}{x\left(4+\frac{7}{x}-\frac{9}{x^2}\right)} = -\infty$;
\item $\limite{x}{-\infty}{\left(1-\frac{1}{x}\right)}=1$.
\end{itemize}
Ainsi, par quotient,
\[
\boxed{ \limite{x}{-\infty}{\dfrac{4x^2+7x-9}{x-1}} = -\infty }
\]
\end{enumerate}
