
\begin{itemize}
\item Limite en $+\infty$.

$\left.
\begin{array}{r}
\limite{x}{+\infty}(x^2+1)=+\infty\\
\limite{X}{+\infty}\sqrt{X}=+\infty
\end{array}\right\rbrace \Rightarrow \limite{x}{+\infty}\sqrt{x^2+1}=+\infty.$

Ainsi, par somme,
\[
\boxed{\limite{x}{+\infty}\big(x+\sqrt{x^2+1}\big)=+\infty}
\]

\item Limite en $-\infty$.

\begin{align*}
f(x) & = \dfrac{\big(x+\sqrt{x^2+1}\big)\big(x-\sqrt{x^2+1}\big)}{x-\sqrt{x^2+1}}\\
& = \dfrac{x^2-(x^2+1)}{x-\sqrt{x^2+1}}\\
& = \dfrac{-1}{x-\sqrt{x^2+1}}
\end{align*}

De plus,
\[
\limite{x}{-\infty}(x^2+1)=+\infty
\]
donc
\[
\limite{x}{-\infty}\sqrt{x^2+1}=\limite{X}{+\infty}\sqrt{X}=+\infty.
\]
Ainsi, par somme,
\[
\limite{x}{-\infty}\left(x-\sqrt{x^2+1}\right)=-\infty.
\]
Par passage à l'inverse, on a alors:
\[
\boxed{\limite{x}{+\infty}\left(\dfrac{-1}{x-\sqrt{x^2+1}}\right)=0}
\]
\end{itemize}
