
$f(t) = a\sin(\omega t+\varphi)$ donc :
\[
f'(t) = a \times \omega\cos(\omega t + \varphi).
\]
En effet, on sait que la dérivée de $x\mapsto\sin x$ est $x\mapsto\cos x$.

De plus, on sait que la dérivée de $f(at+b)$ est $af'(at+b)$.

\medskip

Sur le même principe, on a alors :
\[
f''(t) = a\omega \times (-\omega\sin(\omega t+\varphi) = -a\omega\sin(\omega t+\varphi) = -\omega^2 f(t).
\]
Ainsi,
\[
f''(t) + \omega^2f(t) = -\omega^2f(t)+\omega^2f(t)=0.
\]

\begin{rem}
On dit alors que $f$ est solution de l'équation  $y''+\omega^2 y=0$, équation dont l'inconnue est une fonction $y$.

Quand une équation de ce type admet comme inconnue une fonction, mais aussi sa dérivée et/ou sa dérivée seconde, on parle d'\textbf{équation différentielle}. On parlera de ce type d'équations dans le chapitre \ref{chap:equadif}.
\end{rem}
