
\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $u \times v$ avec:
\[
u(x) = x,\quad u'(x) = 1\qquad;\qquad v(x)=\e^{-x},\quad v'(x) = -\e^{-x}.
\]
\begin{align*}
\text{D'où:}\qquad f'(x) & =( u'v + v'u)(x)\\
      & = 1 \times \e^{-x} + \big(\e^{-x}\big) \times x\\
\Aboxed{f'(x) & = (1 - x)\e^{-x}}
\end{align*}

\item $\e^{-x}>0$ pour tout réel $x$ donc $f'(x)$ est du signe de $1-x$, c'est-à-dire positif sur \intervFF{-2}{1} (intervalle où est définie notre fonction $f$).

Par conséquent, $f$ est strictement croissante sur \intervFF{-2}{1}.

\item Sur \intervFF{-2}{1},
\begin{itemize}
\item $f$ est continue (comme produit de deux fonctions continues) et strictement croissante;
\item $f(-2)=-2\e^2+2\approx-12,8 < 0$ et $f(1)=e^{-1}+2 > 0$; ainsi, 0 est une valeur intermédiaire entre $f(-2)$ et $f(1)$.
\end{itemize}
Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique valeur $\alpha\in\intervFF{-2}{1}$ telle que $f(\alpha)=0$.

À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha\approx-0,85$ (il suffit de dresser un tableau de valeurs de $f(x)$ sur \intervFF{-2}{1} avec un pas de 0,01 pour $x$).
\end{enumerate}
