
\begin{enumerate}
\item Le taux de présence de ce produit après 1 heure correspond à:
\[
f(1) = 1,5\times2\times\e^{-1}-0,5 \approx 0,6036.
\]
\underline{Le produit injecté est donc présent dans le sang à environ \pourcent{60,36} après une heure.}

\item $f$ est de la forme $u \times v$ donc $f'=u'v+uv'$, avec :
\begin{align*}
u(t) = 1,5(t+1) & \qquad & v(t)=\e^{-t}\\
u'(t)=1,5 & \qquad & v(t)=-\e^{-t}
\end{align*}

Ainsi,
\begin{align*}
f'(t) & = 1,5\e^{-t} + 1,5(t+1)\big(-\e^{-t}\big)\\
& = \big[1,5 + (1,5t+1,5)(-1)\big]\e^{-t}\\
\Aboxed{f'(t) & = -1,5t\e^{-t}}
\end{align*}

\item Pour $t \in \intervFO{0}{+\infty}$, $-1,5t\leqslant0$ et $\e^{-t}>0$, donc $f'(t) \leqslant0$.

\underline{$f$ est donc décroissante sur $\intervFO{0}{+\infty}$.}

\item Nous avons:
\begin{itemize}
\item $\limite{t}{+\infty}{1,5(t+1)} = +\infty$;
\item $\limite{t}{+\infty}{\e^{-t}}=0$.
\end{itemize}
Ainsi, $\limite{t}{+\infty}{1,5(t+1)\e^{-t}}$ est une forme indéterminée du type \og $\infty \times 0$ \fg{} ; il nous faut donc exprimer $f(t)$ différemment pour lever cette indétermination.
\begin{align*}
f(t) & = 1,5\dfrac{t}{\e^t} + 1,5\e^{-t} - 0,5.
\end{align*}
Or, $\limite{t}{+\infty}{\dfrac{t}{\e^t}}=0$ (cours: croissances comparées) et $\limite{t}{+\infty}{\e^{-t}}=0$ donc, par somme:
\[
\boxed{ \limite{t}{+\infty}{f(t)}=-0,5 }
\]

\item Sur \intervFO{0}{+\infty}, $f$ est continue et décroissante.

De plus $f(0)=1$, $\limite{t}{+\infty}{f(t)}=-0,5$, et  $0\in\intervOF{-0,5}{1}$.

\uline{Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(t)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur  \intervFO{0}{+\infty}.}

À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha\approx2,29$.

\textit{Cela signifie qu'après 2,29 h, soit après 2 heures 17 min 24 s, le produit aura théoriquement totalement disparu du sang.}

\item $t-1\geqslant0 \iff t \geqslant 1$ et $1,5\e^{-t}>0$. Ainsi,
\begin{itemize}
\item $f''(t) \leqslant 0$, donc $f$ est concave, sur \intervFF{0}{1};
\item $f''(t) \geqslant 0$, donc $f$ est convexe, sur \intervFO{1}{+\infty};
\end{itemize}

Par conséquent, la courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion de coordonnées \coord{1}{f(1)}.

La vitesse de dilution du produit correspond à la dérivée $f'(t)$, et cette vitesse diminue quand la fonction passe de concave à convexe.

\uline{Ainsi, la vitesse de dilution du produit commence à diminuer à partir d'une heure après son injection.}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = white] (img) {
\begin{tikzpicture}[xscale=4,yscale=4, every node/.style={outer sep = 2mm}]
\draw[gray,dashed] (0,-0.2) grid[xstep=0.1,ystep=0.1] (3,1);
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\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-0.2) -- (0,1.2);
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\fill[red] (1,{3*exp(-1)-0.5}) circle (0.5pt);
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\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
