
\begin{enumerate}
\item On peut écrire $f(x)$ sous la forme :
\begin{align*}
f(x) & = \dfrac{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\frac{2}{\sqrt{x}}+1\right)}\quad\text{pour }x\neq0\\
& = \dfrac{2\sqrt{x}-1}{\frac{2}{\sqrt{x}}+1}
\end{align*}

\newpage

Or,

\begin{itemize}
\item $\limite{x}{+\infty}{(2\sqrt{x}-1)}=+\infty$
\item $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{2}{\sqrt{x}}}=0$ donc $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{2}{\sqrt{x}}+1\right)}=1$
\end{itemize}

Ainsi, par quotient,
\[
\boxed{\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty}
\]
\item
\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=2x-\sqrt{x}$

$u'(x)=2-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

\columnbreak

$v(x)=2+\sqrt{x}$

$v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
\end{multicols}

D'où :
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}(x)\\
& = \dfrac{\left(2-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\left(2+\sqrt{x}\right)-\left(2x-\sqrt{x}\right)\times\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\left(2+\sqrt{x}\right)^2}\\
& = \dfrac{\left(4\sqrt{x}-1\right)(2+\sqrt{x})-(2x-\sqrt{x})}{2\sqrt{x}(2+\sqrt{x})^2}\\
 & = \dfrac{8\sqrt{x}+4x-2-\sqrt{x}-2x+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(2+\sqrt{x})^2}\\
& = \dfrac{2x+8\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}(2+\sqrt{x})^2}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{x+4\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}(2+\sqrt{x})^2}}\qquad\text{en simplifiant par 2}
\end{align*}

\item Le discriminant du polyn\^ome $X^2+4X-1$ est :
\begin{align*}
\Delta & = b^2-4ac\\
& = 4^2-4\times 1\times (-1)\\
\Delta & = 20.
\end{align*}

Les deux racines du polyn\^ome sont donc :
\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
X_1 & =\dfrac{-4-\sqrt{20}}{2}\\
& = \dfrac{-4-2\sqrt{5}}{2}\\
& = -2-\sqrt{5}.
\end{align*}

\begin{align*}
X_2 & =\dfrac{-4+\sqrt{20}}{2}\\
& = \dfrac{-4+2\sqrt{5}}{2}\\
& = -2+\sqrt{5}.
\end{align*}
\end{multicols}

\newpage

D'où le tableau de signe suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]{$X$/0.5,$X^2+4X-1$/0.5}{$-\infty$,$X_1$,$X_2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

$f'(x)$ est du signe de $x+4\sqrt{x}-1$, c'est-à-dire de $X^2+4X-1$ en posant $X=\sqrt{x}$. Ainsi, $X>0$ et $x=X^2$ ; de plus, d'après le tableau de signes précédent,
\begin{align*}
x+4\sqrt{x}-1>0 & \Leftrightarrow \sqrt{x}>-2+\sqrt{5}\\
& \Leftrightarrow x > \left(-2+\sqrt{5}\right)^2\\
& \Leftrightarrow x>9-4\sqrt{5}
\end{align*}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{0,$9-4\sqrt{5}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/0,-/$-9+4\sqrt{5}$,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

$\begin{aligned}[t]
f\left(9-4\sqrt{5}\right) & = \dfrac{2\left(9-4\sqrt{5}\right)-\sqrt{9-4\sqrt{5}}}{2+\sqrt{9-4\sqrt{5}}}\\
& = \dfrac{18-8\sqrt{5}-\left(-2+\sqrt{5}\right)}{2-\left(-2+\sqrt{5}\right)}\\
& = \dfrac{20-9\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\textcolor{red}{\times\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}\\
& = \dfrac{-45+20\sqrt{5}}{5}\\
& = -9+4\sqrt{5}.
\end{aligned}$

Je précise que $\sqrt{9-4\sqrt{5}}=-2+\sqrt{5}$ d'après les calculs faits précédemment.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
