
\begin{enumerate}
\item Soit $P(x)=x^3-2x^2-5x+6$. Alors, $P(1)=1^3-2\times 1^2-5\times 1+6=0$.

\underline{Ainsi, $\alpha=1$ est une racine de $P$.}


\item De la question précédente, on peut conclure que $P(x)=(x-1)(x^2+bx+c)$.

En développant, on a :
\begin{align*}
P(x) & = x^3+bx^2+cx-x^2-bx-c\\
& =x^3+(b-1)x^2+(c-b)x-c.
\end{align*}
Par identification, on a alors :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
b-1=-2\\
c-b=-5\\
-c=6
\end{array}
\right.
\]

Soit $b=-1$ et $c=-6$. Ainsi, $P(x)=(x-1)(x^2-x-6)$.

\medskip

Le discriminant du second facteur est $\Delta=25$, d'où les racines suivantes :
\[
\beta = \dfrac{1-\sqrt{\Delta}}{2}=-2 \qquad \textrm{et} \qquad \gamma=\dfrac{1+\sqrt{\Delta}}{2}=3.
\]

\underline{Les trois racines de $P$ sont donc $\alpha=1$, $\beta=-2$ et $\gamma=3$.}

\item Déterminons les réels $A$, $B$ et $C$ tels que : \[f(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x+2)(x-3)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}+\dfrac{C}{x-3}.\]

\begin{itemize}
\item  $(x-1)f(x)=\dfrac{1}{(x+2)(x-3)}=A+\dfrac{B(x-1)}{x+2}+\dfrac{C(x-1)}{x-3}$.

Si $x=1$, cela nous donne : $\boxed{\dfrac{1}{-6}=A}$.

\item  $(x+2)f(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x-3)}=\dfrac{A(x+2)}{x-1}+\dfrac{C(x+2)}{x-3}$.

Si $x=-2$, cela nous donne : $\boxed{\dfrac{1}{15}=B}$.

\item $(x-3)f(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A(x-3)}{x-1}+\dfrac{B(x-3)}{x+2}+C$.

Si $x=3$, cela nous donne : $\boxed{\dfrac{1}{10}=C}$.
\end{itemize}

Ainsi : \[\boxed{f(x)=\dfrac{-1}{6(x-1)}+\dfrac{1}{15(x+2)}+\dfrac{1}{10(x-3)}}\]

\item  $\begin{aligned}[t]
\int_{4}^{5}f(x)\dx & = -\dfrac{1}{6}\int_{4}^{5}\dfrac{\dx}{x-1}+\dfrac{1}{15}\int_{4}^{5}\dfrac{\dx}{x+2}+\dfrac{1}{10}\int_{4}^{5}\dfrac{\dx}{x-3} \\
& \\
& = -\dfrac{1}{6}\big[ \ln (x-1) \big]_{4}^5 + \dfrac{1}{15}\big[ \ln (x+2) \big]_{4}^5 + \dfrac{1}{10}\big[ \ln (x-3) \big]_4^5 \\
& \\
& = -\dfrac{1}{6}\left( \ln 4 - \ln 3 \right) + \dfrac{1}{15}\left( \ln 7 - \ln 6 \right) + \dfrac{1}{10}\left( \ln 2 - \ln 1 \right)
\end{aligned}$

$\begin{aligned}
\int_{4}^{5}f(x)\dx & = \dfrac{1}{6}\ln 3 - \dfrac{1}{3}\ln 2 + \dfrac{1}{15}\ln 7 - \dfrac{1}{15}\ln 2 - \dfrac{1}{15}\ln 3 + \dfrac{1}{10}\ln 2 \\
& \\
& = \dfrac{1}{30}\ln 3 - \dfrac{3}{10}\ln 2 + \dfrac{1}{15}\ln 7 \\
& \\
& = \boxed{\dfrac{1}{30}\ln\left(\dfrac{147}{512}\right)}
\end{aligned}$
\end{enumerate}
