
\begin{enumerate}
\item Par linéarité de l'intégrale, on a:
\[
I + J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \big( \cos^2(x)+\sin^2(x)\big)\e^x\dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \e^x \dx = \boxed{\e^{\frac{\pi}{2}} - 1}.
\]

\item \label{chap:intExoIPPq1}
\begin{enumerate}
\item \label{chap:intExoIPPq1a} Posons: $\begin{aligned}[t]
u(x)=\cos^2(x) & \qquad u'(x) = -2\sin(x)\cos(x)=-\sin(2x)\\
v'(x)=\e^x & \qquad v(x) = \e^x
\end{aligned}$

\medskip

Alors,
\begin{align*}
I & = \Big[ \cos^2(x)\e^x \Big]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} -\sin(2x)\e^x \dx\\
\Aboxed{I & = - 1 + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)\e^x \dx}
\end{align*}

\begin{rem}
De cette égalité, on peut déduire:
\[
I+1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)\e^x \dx.
\]
\end{rem}

\item $K=\dint_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)\e^x \dx$. On pose:
\begin{align*}
u(x)=\sin(2x) & \qquad u'(x)=2\cos(2x)\\
v'(x)=\e^x & \qquad v(x) = \e^x
\end{align*}

À l'aide d'une IPP, on a:
\begin{align*}
K & = \Big[\sin(2x)\e^x \Big]_0^{\frac{\pi}{2}} - 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x)\e^x \dx\\
& =  - 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x)\e^x.
\end{align*}

Posons maintenant:
\begin{align*}
u(x)=\cos(2x) & \qquad u'(x)=-2\sin(2x)\\
v'(x)=\e^x & \qquad v(x) = \e^x
\end{align*}

Alors, on obtient à l'aide d'une seconde IPP:
\begin{align*}
K & = -2\left( \Big[ \cos(2x)\e^x \Big]_0^{\frac{\pi}{2}} + 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)\e^x \dx \right)\\
  & =  -2\left( -\e^{\frac{\pi}{2}}-1 +2(I+1) \right).
\end{align*}
En effet, d'après la question \ref{chap:intExoIPPq1}\ref{chap:intExoIPPq1a}, on peut remplacer $\dint_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)\e^x \dx$ par $I+1$ (voir remarque).

On obtient finalement:
\[
K = 2\e^{\frac{\pi}{2}}+2-4I-4 \iff \boxed{K = 2\e^{\frac{\pi}{2}}-4I-2}
\]

\item On en déduit que:
\[
I = -1 + 2\e^{\frac{\pi}{2}}-4I-2
\]
soit:
\[
5I = 2\e^{\frac{\pi}{2}}-3
\]
et donc:
\[
\boxed{I = \dfrac{2\e^{\frac{\pi}{2}}-3}{5}}
\]
\end{enumerate}

\item De l'égalité $I+J=1$, on déduit:
\[
J = 1-\dfrac{2\e^{\frac{\pi}{2}}-3}{5}\qquad\text{soit}\qquad \boxed{ J = \dfrac{3\e^{\frac{\pi}{2}}-2}{5} }
\]
\end{enumerate}
