
\begin{enumerate}
\item Si $y=\dfrac{1}{u}$ alors $y'=-\dfrac{u'}{u^2}$ et alors $u'=-y'u^2$. Donc:
\begin{align*}
u\text{ solution de (E)}
& \iff u' = 3u-0,005u^2\\
& \iff -y'u^2 = 3\times\frac{1}{y} - 0,005\times\dfrac{1}{y^2}\\
& \iff -y' \times \dfrac{1}{y^2} = 3\times\frac{1}{y} - 0,005\times\dfrac{1}{y^2}\\
& \iff -y' = 3y - 0,005\quad\text{(en multipliant par $y^2$)}\\
& \iff y' = -3y + 0,005.
\end{align*}

\item L'équation différentielle $y' = -3y + 0,005$ est de la forme $y' = ay+b$, dont les solutions sont $y(x)=C\e^{ax}-\dfrac{b}{a}$, avec $-\dfrac{b}{a}=\dfrac{0,005}{3}=\dfrac{1}{600}$; ainsi, ses solutions sont:
\[
y(x)=C\e^{-3x} + \frac{1}{600}\quad,\quad C\in\R.
\]
On en déduit alors que l'équation différentielle (E) admet pour solutions les fonctions:
\[
u(x)=\dfrac{1}{y(x)}=\dfrac{600}{600C\e^{-3x}+1}.
\]
\end{enumerate}
