
Il faut ici résoudre le système:
\[
\begin{cases}
2x-y-z=1\\
-x+3y+z=2
\end{cases}
\]
La méthode consiste alors à exprimer deux inconnues en fonction de la troisième. Nous allons par exemple exprimer $x$ et $y$ en fonction de $z$. On écrit alors le système comme suit:
\[
\begin{cases}
2x-y=1+z\\
-x+3y=2-z
\end{cases}\tag{1}
\]
et on le résout comme si $z$ était un paramètre, et non une inconnue.

On multiplie la deuxième équation par 2:
\[
\begin{cases}
2x-y=1+z\\
-2x+6y=4-2z
\end{cases}
\]
et on ajoute les deux équations:
\[
5y = 5-z \iff y = 1 - \frac{1}{5}z.
\]
On reprend le système (1) et cette fois-ci, on multiplie la première équation par 3 (pour éliminer les $y$ en additionna nt les équations):
\[
\begin{cases}
6x-3y=3+3z\\
-x+3y=2-z
\end{cases}
\]
ce qui donne, en ajoutant les équations:
\[
5x=5+2z \iff x = 1 + \frac{2}{5}z.
\]
On a ainsi:
\[
\begin{cases}
x = 1+\frac{2}{5}z\\
y = 1-\frac{1}{5}z\\
z \in\R.
\end{cases}
\]
En posant par exemple $z=5t$, on a:
\[
\boxed{\begin{cases}
x = 1+2t\\
y = 1-t\\
z = 5t
\end{cases}\quad,\quad t\in\R}
\]
C'est une représentation paramétrique de la droite d'intersection des deux plans.

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