

\begin{enumerate}
\item $(\mathcal{P})\;:\;-x+y+z=2$ et $(\mathcal{Q})\;:\;4x-3y+5z=1$.

On considère le système:
\[
\begin{cases}
-x+y+z=2\\
4x-3y+5z=1
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
-x+y=2-z\\
4x-3y=1-5z
\end{cases}\tag{1}
\]
On multiplie par 4 la première équation:
\[
\begin{cases}
-4x+4y=8-4z\\
4x-3y=1-5z
\end{cases}
\]
et on ajoute les deux équations: $y=9-9z$.

On multiplie par 3 la première équation dans le système (1):
\[
\begin{cases}
-3x+3y=6-3z\\
4x-3y=1-5z
\end{cases}
\]
et on ajoute les deux équations: $x=7-8z$.

On arrive finalement à :
\[
\begin{cases}
x = 7 - 8z\\
y = 9 - 9z\\
z \in R
\end{cases}
\]
soit, en posant $z=t$:
\[
\boxed{\begin{cases}
x = 7 - 8t\\
y = 9 - 9t\\
z = t
\end{cases}\quad,\quad t\in\R}
\]

\item $(\mathcal{P})\;:\;2x-y+3z=1$ et $(\mathcal{Q})\;:\;-3x+2y-7z=1$.

On considère le système:
\[
\begin{cases}
2x-y+3z=1\\
-3x+2y-7z=1
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
2x-y=1-3z\\
-3x+2y=1+7z
\end{cases}\tag{1}
\]
On multiplie par 2 la première équation:
\[
\begin{cases}
4x-2y=2-6z\\
-3x+2y=1+7z
\end{cases}
\]
et on ajoute les deux équations: $x=3+z$.

On multiplie par 3 la première équation et par 2 la seconde équation dans le système (1):
\[
\begin{cases}
6x-3y=3-9z\\
-6x+4y=2+14z
\end{cases}
\]
et on ajoute les deux équations: $y=5+5z$.

On arrive finalement à :
\[
\begin{cases}
x = 3+z\\
y = 5+5z\\
z \in R
\end{cases}
\]
soit, en posant $z=t$:
\[
\boxed{\begin{cases}
x = 3+t\\
y = 5+5t\\
z = t
\end{cases}\quad,\quad t\in\R}
\]
\end{enumerate}
