
\begin{enumerate}
\item $A\coordEsp{-1}{3}{1}$ et $B\coordEsp{3}{5}{-3}$. Le milieu $I$ de $[AB]$ a donc pour coordonnées:
\[
I\coordEsp{\frac{-1+3}{2}}{\frac{3+5}{2}}{\frac{1+(-3)}{2}},\text{ soit }\boxed{I\coordEsp{1}{4}{-1}}
\]

\item Une équation cartésienne du plan médiateur $(\mathcal{P})$ est de la forme:
\[
(\mathcal{P})\;:\;ax+by+cz+d = 0
\]
où $\vv{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan. Or, $\vv{AB}\begin{pmatrix}4\\2\\-4\end{pmatrix}$ est normal au plan médiateur, donc:
\[
(\mathcal{P})\;:\;4x+2y-4z+d=0.
\]
De plus, $I\in(\mathcal{P})$ donc:
\[
4x_I + 2y_I - 4z_I + d = 0 \iff d = -16.
\]
Finalement,
\[
(\mathcal{P})\;:\;4x+2y-4z-16=0
\]
que l'on peut aussi écrire (en divisant tous les coefficients par 2):
\[
\boxed{(\mathcal{P})\;:\;2x+y-2z-8=0}
\]

\item
\begin{enumerate}
\item Soit $M(x;y;z)\in(\mathcal{P})$. Alors, d'après l'équation cartésienne donnée précédemment:
\[
y = 2z-2x+8.
\]

\medskip

\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
AM^2 & = (x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 + (z-z_A)^2\\
& = (x+1)^2 + (y-3)^2 + (z-1)^2\\
& = (x+1)^2 + (2z-2x+8-3)^2 + (z-1)^2\\
& = (x+1)^2 + (2z-2x+5)^2 + (z-1)^2\\
& = 5x^2 + 5z^2 -18x +18z - 8xz + 27.
\end{aligned}$

\bigskip

\item $\begin{aligned}[t]
BM^2 & = (x-3)^2 + (y-5)^2 + (z+3)^2\\
& = (x-3)^2 + (2z-2x+8-5)^2 + (z+3)^2\\
& = (x-3)^2 + (2z-2x+3)^2 + (z+3)^2\\
& = 5x^2 + 5z^2 -18x +18z - 8xz + 27.
\end{aligned}$
\end{itemize}

\bigskip

On a alors $AM^2 = BM^2$, donc $AM = BM$.

\medskip


\item Supposons que $MA = MB$. Alors,
\begin{align*}
MA^2 = MB^2 & \iff MA^2 - MB^2 = 0\\
			& \iff \vv{MA}^2 - \vv{MB}^2 = 0\\
			& \iff \big(\vv{MA} + \vv{MB}\big)\cdot\big(\vv{MA} - \vv{MB}\big)=0\\
			& \iff \big(\vv{MI}+\vv{IA}+\vv{MI}+\vv{IB} \big)\cdot\big(\vv{MA}+\vv{BM} \big) = 0\\
			& \iff 2\vv{MI}\cdot \vv{BA}=0.
\end{align*}
Ainsi, les vecteurs $\vv{MI}$ et $\vv{BA}$ sont orthogonaux. Or, $(\mathcal{P})$ est le plan passant par $I$ est orthogonal à $\vv{AB}$ donc $(MI)$ est incluse dans $(\mathcal{P})$. $M$ appartient donc à $(\mathcal{P})$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{rem}
Des deux dernières questions, on peut conclure l'équivalence:
\[
M\in(\mathcal{P})\text{ plan médiateur de }[AB] \iff MA = MB.
\]
Autrement dit, le plan médiateur d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.
\end{rem}
\end{enumerate}
