\chapter{Suites numériques}

\newpage

\section{Raisonnement par récurrence}

\begin{prop}[principe de récurrence]
Soit $\mathcal {P}_n$ une propriété dépendant d'un entier naturel $n$. Si:
\begin{itemize}
\item pour un entier $n_0$, $\mathcal {P}_{n_0}$ est vraie (initialisation),
\item pour tout entier naturel $k \geqslant n_0$, le fait que $\mathcal {P}_k$ soit vraie implique que $\mathcal {P}_{k+1}$ est vraie (hérédité),
\end{itemize}
alors $\mathcal {P}_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$ supérieur à $n_0$.
\end{prop}

\begin{rem}
si $\mathcal {P}_k \Rightarrow \mathcal {P}_{k+1}$ alors on dira que la propriété est héréditaire.
\end{rem}

\begin{defin}
Une \textit{démonstration par récurrence} est une démonstration dans laquelle on utilise le principe de récurrence.
\end{defin}

\begin{attention}
Une démonstration par récurrence comporte impérativement deux étapes :\linebreak initialisation et hérédité.
\end{attention}

\begin{exemple}
Démontrons par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$ :
\[
1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
\]
\begin{itemize}
\item \emph{Initialisation :} comme :
\[ 1^2=\dfrac{1\times2\times3}{6}\;, \]
la propriété est vraie au rang $1$.

\item \emph{Hérédité :} soit $k$ un entier non nul arbitrairement fixé ; supposons la propriété vraie au rang $k$ : 
\[ 1^2+2^2+3^2+\cdots+(k-1)^2+k^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}. \]
On veut montrer que la propriété est vraie au rang $k+1$, soit : 
\begin{align*}
1^2+2^2+\cdots+k^2+(k+1)^2 & =\dfrac{(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]}{6}\\
& =\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}.
\end{align*}

\pagebreak
En utilisant l'hypothèse de récurrence, on a :
\begin{align*}
1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2
&=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2 \\%\displaybreak[0]\\
&=\dfrac{k+1}{6}\big[k(2k+1)+6(k+1)\big] \\
&=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}.
\end{align*}

La propriété est donc vraie au rang $k+1$. \par
Ainsi, on a montré que si la propriété est vraie au rang $k$, alors elle est vraie au rang $k+1$. \par
La propriété considérée est donc vraie pour tout rang $n\geqslant1$ en vertu du principe de récurrence.
\end{itemize}
\end{exemple}


\section{Limite d'une suite}


\subsection{Définitions}

\begin{defin} 
On dit que la suite $(u_n)$ \textit{converge} vers un réel $\ell$ si $u_n$ se rapproche de plus en plus de $\ell$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

On écrit alors : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ell$.
\end{defin}

\begin{rem}
si $(u_n)$ converge vers $\ell$ alors on dit que $u_n$ tend vers $\ell$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{rem}

\begin{exemple}
La suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par $u_n=\dfrac{1}{n}$ converge vers 0 car plus $n$ prend de grandes valeurs positives, plus $\dfrac{1}{n}$ se rapproche de 0.
\end{exemple}

\begin{defin} 
\begin{itemize}
\item On dit que la limite de $(u_n)$ est $+\infty$ si $u_n$ prend des valeurs de plus en plus grandes. On écrira alors : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
\item On dit que la limite de $(u_n)$ est $-\infty$ si la suite $(-u_n)$ tend vers $+\infty$. On écrira alors : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-\infty$.
\end{itemize}
\end{defin}

\enlargethispage*{2cm}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item La suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=n^2$ tend vers $+\infty$ car plus $n$ prend de grandes valeurs, plus $n^2$ aussi.

\item La suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=-n^2$ tend vers $-\infty$ car $v_n=-u_n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
\end{enumerate}
\end{exemple}


\begin{defin}
On dit que la suite $(u_n)$ \textit{diverge} quand sa limite est infinie.
\end{defin}

\begin{rem}
Certaines suites ne sont ni convergentes ni divergentes: elles n'ont pas de limite.

La suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\cos(n)$ n'a pas de limite car ses valeurs varient entre $-1$ et $1$ sans jamais se rapprocher d'une valeur fixe.
\end{rem}

\subsection{Des limites de référence}


\begin{prop}
Soit $p$ un entier strictement positif. 
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^p}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0\qquad;\qquad \lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{n}=\lim\limits_{n\to+\infty}n^p=+\infty.
\]
\end{prop}



\subsection{Limite et comparaison}

\subsubsection{Théorèmes fondamentaux}

\begin{thm}[théorème de comparaison]
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites, et soit $n_0$ un entier naturel.
\begin{itemize}
\item Si, pour tout $n \geqslant n_0$, $v_n \geqslant u_n$ avec $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$, alors  $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty$.

\item Si, pour $n\geqslant n_0$, $v_n \leqslant u_n$ avec $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = -\infty$.
\end{itemize}
\end{thm}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item Soit $(u_n)$ une suite telle que pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant n$. Alors, d'après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=+\infty$.
\item Soit $(u_n)$ une suite telle que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant-n^2$. Alors, $\lim\limits_{n\to+\infty}=-\infty$.
\end{enumerate}
\end{exemple}


\begin{thm}[théorème d'encadrement]
Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites, soit $\ell$ un nombre réel et soit $n_0$ un entier naturel. Si, pour tout $n\geqslant n_0$, $v_n \leq u_n \leq w_n$, et si $\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=\lim\limits_{n\to+\infty}w_n=\ell$ alors  $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$.
\end{thm}

\begin{rem}
Ce théorème est aussi appelé \og théorème des gendarmes \fg, mais ce n'est pas son appellation conventionnelle mathématique.
\end{rem}


\begin{exemple}
Soit $(u_n)$ une suite telle que pour tout entier naturel $n\geqslant1$,
\[
\dfrac{1}{n^2} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n}.
\]
$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^2}=0$ donc d'après le théorème des gendarmes, 
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0.
\]
\end{exemple}



\subsubsection{Comportement à l'infini de (q$^\text{n}$)}

\begin{prop}[inégalité de Bernoulli]
Pour tout réel $x>-1$ ($x\neq0$) et pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :
\[ 
(1+x)^n > 1 + nx.
\]
\end{prop}


\begin{prop}
Soient $q$ un nombre réel et $n$ un entier naturel.
\begin{itemize}
\item Si $q > 1$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
\item Si $q = 1$, alors $q^n = 1$.
\item Si $-1 < q < 1$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$.
\item Si $q < -1$, alors $(q^n)$ n'a pas de limite en $+\infty$.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{prop}
Toute suite géométrique de raison $q$ telle que $\lvert q \rvert < 1$ converge vers 0.
\end{prop}


\subsection{Suite majorée ou minorée}


\begin{defin}
\begin{itemize}
\item Une suite $(u_n)$ est dite \emph{majorée} s'il existe un réel $M$ tel que : 
\begin{center}
pour tout $n\in\N$, $u_n\leq M$.
\end{center}

\item Une suite $(u_n)$ est dite \emph{minorée} s'il existe un réel $m$ tel que :
\begin{center}
pour tout $n\in\N$, $m\leq u_n$.
\end{center}

\item Une suite est dite \textit{bornée} si elle est majorée et minorée.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{exemple}
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n=1+\dfrac{1}{n}$.
\begin{itemize}
\item  Pour tout entier  naturel $n$ non nul, $\dfrac{1}{n}\leqslant1$ donc $u_n\leqslant1+1$, soit $u_n\leqslant2$.

\medskip


La suite $(u_n)$ est donc majorée par 2.

\item De plus, $\dfrac{1}{n}>0$ pour tout entier naturel $n$ non nul donc $u_n>1$.

\medskip

La suite $(u_n)$ est donc minorée par 1.

\item La suite $(u_n)$ est minorée et majorée; elle est donc bornée.
\end{itemize}
\end{exemple}


\begin{thm}[théorème de convergence]
Toute suite croissante et majorée converge.

Toute suite décroissante et minorée converge.

Toute suite monotone et bornée converge.
\end{thm}

\subsection{Opérations et limites}

$(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites, $\ell$ et $\ell'$ représentent des réels.

Dans les tableaux suivants, \og F.I. \fg{} signifie : \og Forme Indéterminée \fg. Ce sont des cas où l'on ne peut pas conclure immédiatement quant à la valeur de la limite. Dans de tels cas, il est nécessaire de transformer l'écriture.


\subsubsection{Somme et produit}

\begin{center}
\arrayrulecolor{titrecolor}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep=0pt, outer sep=0pt,fill=yellow!10] (tab){%
\begin{tabular}{|*4{Sc|}}
\hline\rowcolor{titrecolor}\color{main}
 $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ 
&\color{main} $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n$ 
&\color{main} $\lim\limits_{n \to +\infty} (u_n + v_n)$ 
&\color{main} $\lim\limits_{n \to +\infty} (u_n \times v_n)$ \\
\hline 

$\ell$ & $\ell'$ & $\ell + \ell'$ & $\ell \times \ell'$ \\\hline
 
$\ell > 0$ 	& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$
			& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$
			& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$ \\\hline
  
$\ell < 0$ 	& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$
			& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$
			& $\begin{array}{rl} -\infty \\ +\infty \end{array}$ \\\hline
 
$ 0$ 	& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$
		& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$
		& F.I. \\\hline
 
$+\infty$ & $+\infty $ & $+\infty$ & $+\infty$ \\\hline

$+\infty$ & $-\infty $ & F.I. & $-\infty$ \\\hline

$-\infty$ & $-\infty $ & $-\infty$ & $+\infty$ \\\hline
\end{tabular}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsubsection{Quotient}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep=0pt, outer sep=0pt,fill=yellow!10] (tab){%
\begin{tabular}{|*3{Sc|}}
\hline\rowcolor{titrecolor}\color{main}  $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ 
&\color{main} $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n$ 
&\color{main} $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ \\\hline

$\ell$ & $\ell' \ne 0$ & $\dfrac{\ell}{\ell'}$  \\\hline

$\ell > 0$ 	& $\begin{array}{rl}0^+ (0 \text{ en restant positif}) \\0^- (0 \text{ en restant négatif}) \end{array}$
			& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$ \\\hline
 
$\ell < 0$ 	& $\begin{array}{rl}0^+ (0 \text{ en restant positif}) \\0^- (0 \text{ en restant négatif}) \end{array}$
			& $\begin{array}{rl} -\infty \\ +\infty \end{array}$ \\\hline 
 
$0$ & $0$ & F.I. \\\hline
 
$\ell$ 	& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$
		& $\begin{array}{rl} 0 \\ 0 \end{array}$ \\\hline
 
$+\infty$ & $+\infty$ & F.I. \\\hline

$+\infty$ & $-\infty$ & F.I. \\\hline

$-\infty$ & $-\infty$ & F.I. \\\hline
\end{tabular}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{attention}
Les quatre formes indéterminées à retenir sont :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
\og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg{} & \og $\infty-\infty$ \fg{} \\
\hline
\og $0 \times \infty \fg{}$ & \og $\dfrac{0}{0}$ \fg{} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{attention}


\exercices

\subsection*{Raisonnement par récurrence sans suite}

%%%

\begin{exocor}{une somme avec factorielles}[1]
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose:
\[
S_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{(k+1)!}=\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\cdots
\]
où $k! = 2\times3\times4\times5\times\cdots\times (k-1)\times k$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $S_1$, $S_2$ et $S_3$.

Vérifier que $S_n=1-\dfrac{1}{(n+1)!}$ pour $n=1$, $n=2$ et $n=3$.
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[ S_n=1-\dfrac{1}{(n+1)!}. \]
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item $S_1=\dfrac{1}{2!}=\dfrac{1}{2}=1-\dfrac{1}{2}=1-\dfrac{1}{2!}$.
\item $S_2=\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}=\dfrac{5}{6}=1-\dfrac{1}{6}=1-\dfrac{1}{3!}$.
\item $S_3=S_2+\dfrac{3}{4!}=\dfrac{23}{24}=1-\dfrac{1}{24}=1-\dfrac{1}{4!}$.
\end{itemize}
On constate alors que $S_n=1-\dfrac{1}{(n+1)!}$ pour $n=1$, $n=2$ et $n=3$.

\item Démontrons par récurrence cette dernière conjecture. Nous avons réalisé l'initialisation dans la question précédente.

Supposons que pour un entier $k$ fixé, $S_k=1-\dfrac{1}{(k+1)!}$ (HR). Alors,
\begin{align*}
S_{k+1} & = S_k + \dfrac{k+1}{(k+2)!}\\
& = 1-\dfrac{1}{(k+1)!} + \dfrac{k+1}{(k+2)!}\\
& = 1-\dfrac{1}{(k+1)!}\times\dfrac{k+2}{k+2} + \dfrac{k+1}{(k+2)!}\\
& = 1-\dfrac{k+2}{(k+2)!} + \dfrac{k+1}{(k+2)!}\\
& = 1-\dfrac{1}{(k+2)!}.
\end{align*}
L'hérédité est alors vérifiée.

La formule est donc vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{somme des premiers carrés}[2]
On considère la somme :
\[ S_n= \sum_{k=1}^n k^2 = 1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2+n^2. \]
Montrer par récurrence que :
\[ S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \]

\tcblower

Posons $P(n)$ la propriété : 
\[ (P_n)\: :\: 1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
\begin{enumerate}
\item {\bfseries Initialisation.}\\
$S_1=1^2=1$ et $\dfrac{1\times(1+1)(2\times1+1)}{6}=\dfrac{6}{6}=1$.\\
Donc $P(1)$ est vraie.

\medskip

\item {\bfseries Hérédité.}\\
Supposons que pour un entier naturel $k$, la propriété $P(k)$ est vraie (hypothèse de récurrence). Montrons alors que $P(k+1)$ l'est aussi, c'est-à-dire que :
\[ 1^2+2^2+\cdots+k^2+(k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\]
Par hypothèse de récurrence, on a :
\begin{align*}
1^2+2^2+\cdots+k^2+(k+1)^2 & = S_k+(k+1)^2\\[8pt]
& = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2\\[8pt]
& = (k+1)\left[\frac{k(2k+1)}{6}+(k+1) \right]\\[8pt]
& = (k+1)\left[\frac{k(2k+1)+6(k+1)}{6} \right]\\[8pt]
& = \frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}
\end{align*}
\og $k_1=-2$ \fg{} est une racine évidente du polynôme $2k^2+7k+6$ donc la seconde racine $k_2$ est telle que $k_1k_2=\dfrac{c}{a}$, donc $k_2=-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{6}{2}=-\dfrac{3}{2}$.\\
Donc $2k^2+7k+6=2\left(k+2\right)\left(k+\frac{3}{2}\right)=(k+2)(2k+3)$.\\
Finalement, on a :
\[ 1^2+2^2+\cdots+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}. \]
L'hérédité est donc vérifiée.

\medskip

\item {\bfseries Conclusion.}\\
Quel que soit l'entier naturel $k \geqslant 1$, $P(k) \Rightarrow P(k+1)$.\\
Ainsi, d'après le principe de récurrence, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geqslant 1$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{inégalité de Bernoulli}[2]
Montrer par récurrence l'inégalité suivante, appelée \textit{inégalité de Bernoulli}:
\[
\forall x \geqslant-1,\ x\neq0, \forall n>1,\ (1+x)^n > 1+nx
\]

\tcblower

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

Pour $n=2$, $\begin{aligned}[t]
(1+x)^n & = (1+x)^2 = 1+2x+x^2\\
1+nx & = 1+2x
\end{aligned}$

Or, $x^2>0$ donc $1+2x+x^2>1+2x$; ainsi, $(1+x)^2 > 1+2x$.

\medskip

L'in\'egalit\'e est donc vraie au rang $n=2$.

\medskip

\item \textbf{H\'er\'edit\'e.}


On suppose que l'in\'egalit\'e est vraie au rang $n$, c'est-\`a-dire que l'on suppose que pour un entier $n$ quelconque sup\'erieur strictement \`a 1 :
\[
\forall x \geqslant-1,\ x\neq0,\ (1+x)^n>1+nx\qquad {\rm(HR)}
\]
et on souhaite d\'emontrer que :
\[
\forall x \geqslant-1,\ x\neq0,\ (1+x)^{n+1} > 1+(n+1)x.
\]
$\forall x \geqslant-1,\ x\neq0$, on a :
\begin{align*}
(1+x)^{n+1} & = (1+x)^n \times (1+x)\\
& > (1+nx)\times(1+x)\qquad\text{par HR}\\
& > 1+nx+x+x^2\qquad\text{en d\'eveloppant}\\
& > 1+(n+1)x+x^2.
\end{align*}
Or, $x^2>0$ donc $1+(n+1)x+x^2>1+(n+1)x$, d'o\`u:
\[
(1+x)^{n+1}>1+(n+1)x.
\]
Ainsi, si l'in\'egalit\'e est vraie \`a un rang $n$ quelconque, elle l'est aussi au rang $n+1$ : l'h\'er\'edit\'e est d\'emontr\'ee.
\end{itemize}

Par cons\'equent, l'in\'egalit\'e de Bernoulli est vraie pour tout entier naturel $n$ sup\'erieur strictement \`a 1.
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{factorielle et inégalité}[2]
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 4, $n! > n^2$.

\textit{Il faudra faire preuve d'initiative dans cet exercice.}

On rappelle que $n! = 2\times3\times4\times\cdots\times(n-1)\times n$.

\tcblower

Posons:
\[
\mathcal{P}_n\quad:\quad \forall n \geqslant 4, n\in\N, n! > n.
\]
Démontrons par récurrence que cette propriété est vraie.

\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation.}

$4!=2\times3\times4=24$ et $4^2=16$ donc pour $n=4$, $n!>n^2$.

\item \textit{Hérédité.}

Supposons que pour un certain entier $k$ fixé supérieur ou égal à 4, $\mathcal{P}_k$ est vraie, c'est-à-dire que $k!>k^2$ (HR).

Démontrons alors que $(k+1)! > (k+1)^2$, soit $(k+1)! > k^2+2k+1$.
\begin{align*}
(k+1)! & = k! \times (k+1)\\
& > k^2 \times (k+1)\qquad\text{ d'après (HR)}
\end{align*} 
Il faudrait démontrer maintenant que $k^2(k+1) \geqslant (k+1)^2$.

On calcule alors:
\begin{align*}
k^2(k+1) - (k+1)^2 & = (k+1)\big[k^2 - (k+1) \big]\\
& = (k+1)(k^2-k-1)\\
& = (k+1)\big[ k(k-1) - 1 \big].
\end{align*}

$\forall k \geqslant 4$,
\[
\left.\begin{array}{r} k(k-1)-1 \geqslant 4\times3-1, \text{ soit }k(k-1)-1 \geqslant 11\\
k+1 \geqslant 5
\end{array}\right\}\Rightarrow (k+1)\big[ k(k-1) - 1 \big] \geqslant 55>0.
\]

\medskip

Donc $k^2(k+1) - (k+1)^2 \geqslant0$, soit $k^2(k+1) \geqslant (k+1)^2$.

Ainsi, $(k+1)! > (k+1)^2$. La propriété $\mathcal{P}_n$ est donc héréditaire.
\end{itemize}

D'après le principe de récurrence, on en déduit que $\mathcal{P}_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 4.
\end{exocor}

%%% 2025

\begin{exocor}{inégalité}[2]
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans \N l'inéquation: $4n > 2(n+1)$.
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 3$, $2^n > 2n$. 
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Résolvons dans \N l'inéquation:
\begin{align*}
4n > 2(n+1) & \iff 4n > 2n + 2\\
& \iff 2n > 2\\
& \iff n > 1.
\end{align*}

\item Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 3$, 
\[
\mathcal{P}(n):\qquad 2^n > 2n.
\]
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation:} pour $n=3$, $2^n=2^3=8$ et $2n=2\times3=6$.

$8 > 6$ donc $2^3 > 2\times3$.

$\mathcal{P}(3)$ est donc vraie.

\bigskip

\item \textbf{Hérédité:} supposons que pour un entier $k$ arbitrairement fixé, $\mathcal{P}(k)$ est vraie.

Montrons alors que $\mathcal{P}(k+1)$ est aussi vraie, c'est-à-dire que $2^{k+1} > 2(k+1)$.

\begin{align*}
\mathcal{P}(k)\text{ vraie} & \Rightarrow 2^k > 2k\\
& \Rightarrow 2\times2^k > 2 \times 2k\\
& \Rightarrow 2^{k+1} > 4k \,{\color{red} > 2(k+1) \text{ (d'après la question précédente car $k>1$)}}\\
& \Rightarrow \mathcal{P}(k+1) \text{ vraie}.
\end{align*}

L'hérédité est alors prouvée.

\item \textbf{Conclusion:} d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n \geqslant 3$.
\end{itemize} 
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 2025

\begin{exocor}{de l'importance de l'initialisation}[2]
Soit $\mathcal{P}(n)$ la propriété:
\begin{center}
\og $4^n+1$ est divisible par 3. \fg{} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On suppose que $\mathcal{P}(k)$ est vraie pour un entier $k$ arbitrairement fixé.

Montrer que $\mathcal{P}(k+1)$ est alors vraie.

\item $\mathcal{P}(n)$ est-elle vraie pour tout entier naturel  $n$ ? 

\item Que cela vous inspire-t-il ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Supposons que pour un entier $k$ fixé, $4^k+1$ est divisible par 3. Alors, il existe un entier naturel $p$ tel que:
\[
4^k+1=3p.
\]

On a alors les implications suivantes:
\begin{align*}
& 4^k+1=3p\\
\Rightarrow & 4\times(4^k+1) = 4 \times 3p\\
\Rightarrow & 4^{k+1} + 4 = 12p\\
\Rightarrow & 4^{k+1} + 4 - 3 = 12p - 3\\
\Rightarrow & 4^{k+1} + 1 = 3(4p-1).
\end{align*}
Ainsi, $4^{k+1}+1$ est un multiple de 3, et donc $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

\medskip

On dit que la propriété $\mathcal{P}$ est \textit{héréditaire}.

\item $\mathcal{P}(0)$ stipule que $4^0+1=2$ est un multiple de 3, ce qui est loin d'être vrai.

De même, $\mathcal{P}(1)$ stipule que $4^1+1=5$ est un multiple de 3, ce qui n'est pas le cas.

\medskip

Donc $\mathcal{P}(n)$ n'est pas vraie pour tout entier naturel $n$.

\item Ce qui précède nous permet de constater que ce n'est pas parce qu'une propriété est héréditaire qu'elle est tout le temps vraie.

Le principe de récurrence s'appuie d'ailleurs sur le fait qu'il est nécessaire de vérifier que la propriété est vraie pour un entier (généralement, le plus petit possible: c'est l'hérédité).

Donc il faut veiller à faire l'initialisation lors d'un raisonnement par récurrence sans quoi, le raisonnement est faux.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{en arithmétique}[3]
Montrer par récurrence les propriétés suivantes.
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, $4^n-3n-1$ est divisible par 9.
\item Pour tout entier naturel $n$, $7\times3^{5n}+4$ est divisible par 11.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Posons $\mathcal{P}(n): 4^n-3n-1=9p$, où $p$ est un entier relatif.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.} 

Pour $n=0$, on a:
\[
4^n-3n-1=4^0-3\times0-1=1-1=0 = 9\times 0.
\]
Ainsi, $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

\bigskip


\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier $k$ arbitrairement fixé, $\mathcal{P}(k)$ est vraie.

Montrons alors que $\mathcal{P}(k+1)$ est aussi vraie, c'est-à-dire que:

$4^{k+1} - 3(k+1) - 1 = 9p$, soit $4^{k+1} - 3k - 4 = 9p$, où $p$ est un entier relatif.
\begin{align*}
\mathcal{P}(k) \text{ vraie} & \Rightarrow 4^k-3k-1=9p\\
& \Rightarrow 4\times(4^k-3k-1) = 4\times 9p\\
& \Rightarrow 4^{k+1} {\color{red}-12k} - 4 = 4\times9p\\
& \Rightarrow 4^{k+1} {\color{red}- 3k - 9k} - 4 = 4\times9p\\
& \Rightarrow 4^{k+1} - 3k - 4 = 4\times9p +9k\\
& \Rightarrow 4^{k+1} - 3k - 4 = 9(4p+k)\\
& \Rightarrow \mathcal{P}(k+1) \text{ vraie}.
\end{align*}
En effet, $4p+k$ est un entier relatif (car c'est une combinaison linéaire de deux entiers relatifs).

\item \textbf{Conclusion.}

$\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}(k) \text{ vraie} \Rightarrow \mathcal{P}(k+1) \text{ vraie}$ donc, d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$, à savoir que:
\[
\forall n\in\N,\qquad 4^n-3n-1 \text{ est un multiple de 9}.
\]
\end{itemize}

\newpage

\item Posons $\mathcal{P}(n):7\times3^{5n}+4=11p$, où $p$ est un entier naturel (non nul).
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

Pour $n=0$, on a:
\[
7\times3^{5n}+4=7\times3^0+4=7+4=11=11\times1.
\]
Ainsi, $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

\bigskip

\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier $k$ arbitrairement fixé, $\mathcal{P}(k)$ est vraie.

Montrons alors que $\mathcal{P}(k+1)$ est aussi vraie, c'est-à-dire que:
\[
7\times3^{5(k+1)}+4=11p.
\]
\begin{align*}
\mathcal{P}(k)\text{ vraie} & \Rightarrow 7\times3^{5k}+4=11p\\
& \Rightarrow 3^5\times\big(7\times3^{5k}+4\big)=3^5\times11p\\
& \Rightarrow 7\times3^{5k}\times3^5 + 4\times3^5 = 11\times3^5p\\
& \Rightarrow 7\times3^{5k+5} + {\color{red}972} = 11\times3^5k\\
& \Rightarrow 7\times3^{5(k+1)} + {\color{red}4 + 968} = 11\times3^5k\\
& \Rightarrow 7\times3^{5(k+1)} + 4 = 11\times3^5k-{\color{blue}968}\\
& \Rightarrow 7\times3^{5(k+1)} + 4 = 11\times3^5k-{\color{blue}11\times88}\\
& \Rightarrow 7\times3^{5(k+1)} + 4 = 11\times\big(3^5k-88\big)\\
& \Rightarrow \mathcal{P}(k+1) \text{ vraie}.
\end{align*}

\item \textbf{Conclusion.}

$\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}(k) \text{ vraie} \Rightarrow \mathcal{P}(k+1) \text{ vraie}$ donc, d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$, à savoir que:
\[
\forall n\in\N,\quad 7\times3^{5n}+4\text{ est un multiple de 11}.
\]
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{formule du binôme de Newton}[3]
Montrer par récurrence l'égalité suivante :
\[
\forall n\in\N,\ \forall\coord{a}{b}\in\R\times\R,\quad (a+b)^n=\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}a^kb^{n-k}
\]
appelée \textit{formule du binôme de Newton}.

\medskip

\textit{Aide : on pourra s'aider de la formule suivante :}
\[
\dbinom{n}{k-1}+\dbinom{n}{k}=\dbinom{n+1}{k}
\quad\text{où $\dbinom{n}{k}$ est le coefficient binomial \og $k$ parmi $n$ \fg.}
\]

\tcblower

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

Pour $n=0$, $\begin{aligned}[t]
(a+b)^n & = (a+b)^0 = 1\\
\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}a^kb^{n-k}=\dbinom{0}{0}a^0b^0=1
\end{aligned}$

Ainsi, la formule est vraie pour $n=0$ et l'initialisation est alors vérifiée.

\item \textbf{Hérédité.}

On suppose que pour un $n$ arbitraire, l'\'egalit\'e est vraie donc :
\[
\forall\coord{a}{b}\in\R\times\R,\quad (a+b)^n=\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}a^kb^{n-k}\qquad\text{(HR)}
\]
et montrons qu'elle l'est aussi au rang $n+1$, donc montrons que :
\[
\forall\coord{a}{b}\in\R\times\R,\quad (a+b)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\dbinom{n+1}{k}a^kb^{n+1-k}
\]
Dans un premier temps, remarquons que :
\[
(a+b)^{n+1}=(a+b)^n(a+b)=a(a+b)^n + b(a+b)^n.
\]
De plus,
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
b(a+b)^n & =\textcolor{red}{b}\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}a^kb^{n-k}\quad\text{par (HR)}\\
& = \sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}a^kb^{n\textcolor{red}{+1}-k}
\end{aligned}$

\medskip

\item $\begin{aligned}[t]
a(a+b)^n & = \textcolor{red}{a}\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}a^kb^{n-k}\\
& = \sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}a^{k\textcolor{red}{+1}}b^{n-k}\\
& = \sum_{p=1}^{n+1}\dbinom{n}{p-1}a^p b^{n+1-p}\quad\text{en posant }p=k+1\\
& = \sum_{k=1}^{n+1}\dbinom{n}{k-1}a^k b^{n+1-k}\quad\text{en prenant $k=p$ (car c'est une variable muette)}
\end{aligned}$
\end{itemize}
Ainsi,
\begin{align*}
(a+b)^{n+1} & 
=\textcolor{red}{\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}a^kb^{n+1-k}}+\textcolor{blue}{\sum_{k=1}^{n+1}\dbinom{n}{k-1}a^k b^{n+1-k}}
\end{align*}

\begin{multline*}
(a+b)^{n+1} = {\color{red}\dbinom{n}{0}a^0b^{n+1-0}+\sum_{k=1}^n\dbinom{n}{k}a^kb^{n+1-k}} \\+ {\color{blue}\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k-1}a^k b^{n+1-k} + \dbinom{n}{(n+1)-1}a^{n+1} b^{n+1-(n+1)}}
\end{multline*}
\begin{align*}
(a+b)^{n+1} & = a^{n+1}+b^{n+1}+\sum_{k=1}^{n} \left[ \dbinom{n}{k-1}+\dbinom{n}{k} \right] a^kb^{n+1-k}\\
& = a^{n+1}+b^{n+1}+\sum_{k=1}^{n} \dbinom{n+1}{k} a^kb^{n+1-k}
\end{align*}
Or, 
\[ 
a^{n+1}=\dbinom{n+1}{n+1}a^{n+1}b^{(n+1)-(n+1)}
\qquad\text{et}\qquad
b^{n+1}=\dbinom{n+1}{0}a^0 n^{n+1-0}
\] 
donc donc peut incorporer $a^{n+1}$ et $b^{n+1}$ dans la somme :
\[
(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \dbinom{n+1}{k} a^kb^{n+1-k}.
\]
L'hérédité est alors vérifiée. La formule est donc vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}
\end{exocor}


\subsection*{Raisonnement par récurrence avec une suite}

%%%

\begin{exocor}{conjecturer une formule et la démontrer}[1]
On considère la suite $\suite{u}{n}{}$ définie par :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=0\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{2-u_n}\quad,\qquad\forall n\in\N
\end{array}
\right.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sous forme de fraction irréductible.
\item Conjecturer la formule qui donne $u_n$ puis la montrer par récurrence.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Calculons :\vspace{-2em}
\begin{multicols}{3}
\begin{align*}
u_1 & = \frac{1}{2-u_0}\\
\Aboxed{u_1& = \frac{1}{2}}\\
~ & ~
\end{align*}

\columnbreak


\begin{align*}
u_2 & = \frac{1}{2-u_1}\\
u_2& = \frac{1}{2-\tfrac{1}{2}}\\
\Aboxed{u_2& = \frac{2}{3}}
\end{align*}

\columnbreak

\begin{align*}
u_3 & = \frac{1}{2-u_2}\\
u_3& = \frac{1}{2-\tfrac{2}{3}}\\
\Aboxed{u_3& = \frac{3}{4}}
\end{align*}
\end{multicols}

\item Posons $P(n)$ la propriété : $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
\begin{itemize}
\item {\bfseries Initialisation.}\\
Faite dans la question 1.\enlargethispage*{\baselineskip}
\item {\bfseries Hérédité.}\\
Supposons que pour un entier naturel $k$, $P(k)$ est vraie (H.R.). Montrons alors que $P(k+1)$ l'est aussi, c'est-à-dire que $u_{k+1}=\dfrac{n+1}{n+2}$.
\begin{align*}
u_{k+1} & = \frac{1}{2-u_n} = \frac{1}{2-\tfrac{n}{n+1}}\quad\text{(H.R.)}\\
& = \frac{1}{\tfrac{2(n+1)-n}{n+1}} = \frac{n+1}{n+2}.
\end{align*}

L'hérédité est alors vérifiée.

\medskip

\item {\bfseries Conclusion.}\\
Quel que soit l'entier naturel $k$, $P(k)\Rightarrow P(k+1)$.\\
Ainsi, d'après le principe de récurrence, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel~$n$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{avec une fonction croissante}[1]
On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $f$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,color,colorL=numpageenonce!10,colorC=numpageenonce!10,colorV=numpageenonce!10]{$x$/0.5,$f(x)$/1.5}{$0$,$5$}
\tkzTabVar{-/$1$,+/$5$,}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
On définit alors la suite \suite{u}{n}{} par son premier terme $u_0=0$ et par l'égalité $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$.

\medskip

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n \leqslant 5$.

\tcblower

On souhaite démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n \leqslant 5$.

\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation}.

$u_0=1$ donc $0 \leqslant u_0 \leqslant 5$. La propriété est donc vraie pour $n=0$.

\item \textit{Hérédité}.

Supposons que pour un entier $k$ fixé, $0\leqslant u_k \leqslant 5$.

Alors, puisque $f$ est croissante sur \intervFF{0}{5}, on peut prendre l'image de chaque membre de cet encadrement sans changer le sens des inégalités: les images de 0, $u_k$ et 4 sont rangées dans le même ordre:
\[ f(0) \leqslant f(u_k) \leqslant f(5) \]
soit:
\[ 1 \leqslant u_{k+1} \leqslant 5\qquad\text{et donc:}\qquad
0 \leqslant u_{k+1} \leqslant 5. \]
L'hérédité est alors vérifiée.
\end{itemize}
Ainsi, d'après le principe de récurrence, $0\leqslant u_n \leqslant 5$ pour tout entier naturel $n$.
\end{exocor}

%%% NEW 2025

\begin{exocor}{suite définie par récurrence}[1]
On considère la suite \suite{u}{n}{} définie par:
\[
\begin{cases}
u_0 = 2\\
u_{n+1} = \sqrt{1+u_n}\quad,\quad \forall n \geqslant0.
\end{cases}
\]
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant u_n \leqslant 2$.

\tcblower

On souhaite démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $1\leqslant u_n \leqslant 2$.

\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation}.

$u_0=2$ donc $1 \leqslant u_0 \leqslant 2$. La propriété est donc vraie pour $n=0$.

\item \textit{Hérédité}.

Supposons que pour un entier $k$ fixé, $1\leqslant u_k \leqslant 2$.

Alors,on a:
\begin{align*}
1\leqslant u_k \leqslant 2 & \Rightarrow 1+1\leqslant 1+u_k \leqslant 1+2\\
& \Rightarrow 2 \leqslant 1+u_k \leqslant 3\\
& \Rightarrow \sqrt2 \leqslant \sqrt{1+u_k} \leqslant \sqrt3\\
& \Rightarrow {\color{red} 1 \leqslant} \sqrt{2} \leqslant u_{k+1} \leqslant \sqrt{3}\ {\color{red} \leqslant 2}
\end{align*}
L'hérédité est alors vérifiée.
\end{itemize}
Ainsi, d'après le principe de récurrence, $1\leqslant u_n \leqslant 2$ pour tout entier naturel $n$.
\end{exocor}

%%% NEW 2025

\begin{exocor}{suite définie par récurrence}[1]
On considère la suite \suite{u}{n}{} définie par:
\[
\begin{cases}
u_0 = \frac{1}{2}\\
u_{n+1} = \dfrac{1}{1+u_n}\quad,\quad \forall n \geqslant0.
\end{cases}
\]
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant 1$.

\tcblower

On souhaite démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{1}{2}\leqslant u_n \leqslant 1$.

\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation}.

$u_0=\dfrac{1}{2}$ donc $\dfrac{1}{2} \leqslant u_0 \leqslant 1$. La propriété est donc vraie pour $n=0$.

\item \textit{Hérédité}.

Supposons que pour un entier $k$ fixé, $\dfrac{1}{2}\leqslant u_k \leqslant 1$.

Alors,on a:
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}\leqslant u_k \leqslant 1 & \Rightarrow 1+\dfrac{1}{2}\leqslant 1+u_k \leqslant 1+1\\
& \Rightarrow \dfrac{3}{2} \leqslant 1+u_k \leqslant 2\\
& \Rightarrow \dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{1+u_k} \leqslant \dfrac{2}{3}\\
& \Rightarrow \dfrac{1}{2} \leqslant u_{k+1} \leqslant \dfrac{2}{3}\ {\color{red} \leqslant 1}
\end{align*}
L'hérédité est alors vérifiée.
\end{itemize}
Ainsi, d'après le principe de récurrence, $\dfrac{1}{2}\leqslant u_n \leqslant 1$ pour tout entier naturel $n$.
\end{exocor}


\subsection*{Limites}

%%% 

\begin{exocor}{fractions rationnelles}[1]
Déterminer la limite des suites suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $a_n=\dfrac{3n+2}{4n-1}$
\item $b_n=\dfrac{n^2-3n+1}{n+7}$
\item $c_n=\dfrac{3n-7}{n^2+1}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $a_n=\dfrac{3n+2}{4n-1}=\dfrac{n\left(3+\frac{2}{n}\right)}{n\left(4-\frac{1}{n}\right)}=\dfrac{3+\frac{2}{n}}{4-\frac{1}{n}}$, pour $n>0$.

Or, d'après le cours, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{k}{n}}=0$ donc:
\[
\boxed{ \limite{n}{+\infty}{a_n}=\dfrac{3}{4} }
\]

\item $b_n=\dfrac{n^2-3n+1}{n+7}=\dfrac{n^2\left(1-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}{n\left(1+\frac{7}{n}\right)}=\dfrac{n\left(1-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}{1+\frac{7}{n}}$, pour $n>0$.

Or, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{a}{n^k}}=0$ donc:
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}{b_n}=\limite{n}{+\infty}{\dfrac{n\times1}{1}}=+\infty}
\]

\item $c_n=\dfrac{3n-7}{n^2+1}=\dfrac{n\left(3-\frac{7}{n}\right)}{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}=\dfrac{3-\frac{7}{n}}{n\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}$, pour $n>0$.

Or, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{a}{n^k}}=0$ donc:
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}{c_n}=\limite{n}{+\infty}{\dfrac{3}{n}=0}}
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{avec racines carrées}[1]
Déterminer les limites des suites suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $u_n=\dfrac{n^2+3n-2}{\sqrt{n}+1}$
\item $v_n=\sqrt{\dfrac{4n+1}{n+2}}$
\item $w_n=\dfrac{2\sqrt{n}+n-3}{\sqrt{n}+1}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Pour cette question, on aura besoin de voir que $n^2=n \times n = n \times \sqrt{n} \times \sqrt{n}$. 

Ainsi, $\dfrac{n^2}{\sqrt{n}}=n\sqrt{n}$. 

$u_n=\dfrac{n^2+3n-2}{\sqrt{n}+1}=\dfrac{n^2\left(1+\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}\right)}{\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}=\dfrac{n\sqrt{n}\left(1+\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}\right)}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}$, pour $n>0$.

Or, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{a}{n^k}}=0$ et $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}}=0$ donc:
\[ \boxed{ \limite{n}{+\infty}{u_n} = \limite{n}{+\infty}{\big(n\sqrt{n}\big)}=+\infty} \]

\item $v_n=\sqrt{\dfrac{4n+1}{n+2}}=\sqrt{\dfrac{n\left(4+\frac{1}{n}\right)}{n\left(1+\frac{2}{n}\right)}}=\sqrt{\dfrac{4+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}}$, pour $n>0$.

Or, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{a}{n^k}}=0$ donc:
\[
\boxed{ \limite{n}{+\infty}{v_n} = \sqrt{\dfrac{4}{1}} = 2 }
\]

\item $w_n=\dfrac{2\sqrt{n}+n-3}{\sqrt{n}+1}=\dfrac{n\left(\frac{2\sqrt{n}}{n}+1-\frac{3}{n}\right)}{\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}=\dfrac{\sqrt{n}\left(\frac{2}{\sqrt{n}}+1-\frac{3}{n}\right)}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}$, pour $n>0$.

Or, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{a}{n^k}}=0$ et $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{a}{\sqrt{n}}}=0$ donc:
\[
\boxed{ \limite{n}{+\infty}{w_n} = \limite{n}{+\infty}{\dfrac{\sqrt{n}}{1}}=+\infty}
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{théorème des gendarmes}[1]
Déterminer la limite de la suite \suite{u}{n}{n\geqslant1} où $u_n=\dfrac{n+\cos(n)}{n^2}$.

\tcblower

Pour tout entier naturel $n\neq0$, on a :
\[ -1 \leqslant \cos(n) \leqslant 1 \]
Ainsi, on a :
\begin{align*}
& n-1 \leqslant n+\cos(n)\leqslant n+1\\[6pt]
\iff & \frac{n-1}{n^2}\leqslant\frac{n+\cos(n)}{n^2}\leqslant\frac{n+1}{n^2}
\end{align*}
De plus, \[
\lim_{n\to+\infty}\frac{n-1}{n^2}=\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n^2}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0 \]
De même, \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{n^2}=0\]
Ainsi, d'après le théorème des gendarmes,
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=0} \]
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{limite d'une somme avec factorielles}[1]
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose:
\[
S_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{(k+1)!}=\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\cdots
\]
où $k! = 2\times3\times4\times5\times\cdots\times (k-1)\times k$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $k$, $\dfrac{k}{(k+1)!}=\dfrac{1}{k!} - \dfrac{1}{(k+1)!}$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $S_n=1-\dfrac{1}{(n+1)!}$.
\item Calculer alors $\limite{n}{+\infty}{S_n}$.
\end{enumerate}

\tcblower


\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $k$, 
\begin{align*}
\dfrac{k}{(k+1)!} & =\dfrac{k+1}{(k+1)!} - \dfrac{1}{(k+1)!} = \dfrac{\cancel{(k+1)}}{k!\times\cancel{(k+1)}}-\dfrac{1}{(k+1)!} = \dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!}.
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
S_n & = \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{(k+1)!} = \sum_{k=1}^n \left( \dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!} \right)\\
& = \left( \dfrac{1}{1!} - \dfrac{1}{2!}\right) + \left( \dfrac{1}{2!} - \dfrac{1}{3!}\right) + \left( \dfrac{1}{3!} - \dfrac{1}{4!}\right) + \cdots + \left( \dfrac{1}{n!} - \dfrac{1}{(n+1)!}\right)\\
& = \dfrac{1}{1!} - \cancel{\dfrac{1}{2!}}  +  \cancel{\dfrac{1}{2!}} - \cancel{\dfrac{1}{3!}}  +  \cancel{\dfrac{1}{3!}} - \cancel{\dfrac{1}{4!}}  + \cdots +  \cancel{\dfrac{1}{n!}} - \dfrac{1}{(n+1)!} \\
& = 1 - \dfrac{1}{(n+1)!}.
\end{aligned}$


\item $\limite{n}{+\infty}{(n+1)!}=+\infty$ donc $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{1}{(n+1)!}}=0$.

Ainsi, $\boxed{\limite{n}{+\infty}{S_n}=1}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{théorème des gendarmes}[2]
Soit $a\neq\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\ k\in\Z$. Calculer $\limite{n}{+\infty}u_n$ dans les cas suivants.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $u_n=\dfrac{n+\sin(n)}{n+\cos(n)}$
\item $u_n=\displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{p=0}^n\sin^p(a)$. 
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $u_n=\dfrac{n+\sin(n)}{n+\cos(n)}=\dfrac{\cancel{n}\left(1+\frac{\sin(n)}{n} \right)}{\cancel{n}\left(1+\frac{\cos(n)}{n}\right)}$.

Or, pour tout entier naturel $n$,
\[
\begin{cases}
-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1 & \text{ donc } -\frac{1}{n} \leqslant \frac{\sin(n)}{n} \leqslant \frac{1}{n}\\[8pt]
-1 \leqslant \cos(n) \leqslant 1 & \text{ donc } -\frac{1}{n} \leqslant \frac{\cos(n)}{n} \leqslant \frac{1}{n}
\end{cases}
\]
donc, d'après le théorème des gendarmes, 
\[
\limite{n}{+\infty}\frac{\sin(n)}{n}=\limite{n}{+\infty}\frac{\cos(n)}{n}=0
\]
et donc:
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}u_n=\dfrac{1}{1}=1}
\]

\item $u_n=\displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{p=0}^n\sin^p(a)=\dfrac{1}{n}\big(1+\sin(a)+\sin^2(a)+\cdots+\sin^n(a)\big)=\dfrac{1}{n}\times\dfrac{1-\sin^{n+1}(a)}{1-\sin(a)}$.

En effet, nous pouvons voir la somme:
\[
1+\sin(a)+\sin^2(a)+\cdots+\sin^n(a)
\]
comme étant la somme :
\[
1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}
\]
avec $q=\sin(a)$ ($a\neq\dfrac{\pi}{2}\mod2\pi$ donc $\sin(a)\neq1$).

\medskip

De plus,
\begin{align*}
-1\leqslant\sin(a)\leqslant1 & \Rightarrow -1\leqslant\sin^{n+1}(a)\leqslant1\\
& \Rightarrow -1 \leqslant -\sin^{n+1}(a) \leqslant 1\\
& \Rightarrow 0 \leqslant 1-\sin^{n+1}(a) \leqslant 2\\
& \Rightarrow 0 \leqslant \dfrac{1-\sin^{n+1}(a)}{1-\sin(a)} \leqslant \dfrac{2}{1-\sin(a)}\\
& \Rightarrow 0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n}\times\underbrace{\dfrac{2}{1-\sin(a)}}_{\text{constante}}.
\end{align*}
Or,
\[
\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\times\underbrace{\dfrac{2}{1-\sin(a)}}_{\text{constante}}=0
\]
donc d'après le théorème des gendarmes,
\[
\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0}
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{théorème de comparaison}[2]
Déterminer les limites suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{n^2+\sin(n)}{n+1}}$
\item $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{(-1)^n-n^3}{1+n^2}}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Calculons $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{n^2+\sin(n)}{n+1}}$.

Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1 & \iff n^2-1 \leqslant n^2+\sin(n) \leqslant n^2+1\\
& \iff \dfrac{n^2-1}{n+1} \leqslant \dfrac{n^2+\sin(n)}{n+1} \leqslant \dfrac{n^2+1}{n+1}\text{ car }n+1>0.
\end{align*}
Or, $\dfrac{n^2-1}{n+1}=\dfrac{\cancel{n}\left(n-\frac{1}{n}\right)}{\cancel{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)}$.

De plus, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{1}{n}}=0$ donc:
\[
\left.
\begin{aligned}
\limite{n}{+\infty}{\left(n-\frac{1}{n}\right)} = +\infty\\
\limite{n}{+\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}=1
\end{aligned}
\right\}\Rightarrow\limite{n}{+\infty}{\dfrac{n^2-1}{n+1}}=+\infty\text{ (par quotient)}.
\]
On a :
\[
\underbrace{\dfrac{n^2-1}{n+1}}_{\color{red} \to +\infty} \leqslant \dfrac{n^2+\sin(n)}{n+1}
\]
donc, d'après le théorème de comparaison,
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}{\dfrac{n^2+\sin(n)}{n+1}}=+\infty}
\]

\item Calculons $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{(-1)^n-n^3}{1+n^2}}$.

Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1 & \iff (-1)-n^3 \leqslant (-1)^n-n^3 \leqslant 1-n^3\\
& \iff \dfrac{-1-n^3}{1+n^2} \leqslant \dfrac{(-1)^n-n^3}{1+n^2} \leqslant \dfrac{1-n^3}{1+n^2}
\end{align*}
Or,
\[
\dfrac{1-n^3}{1+n^2}=\dfrac{\cancel{n^2}\left(\frac{1}{n^2}-n\right)}{\cancel{n^2}\left(\frac{1}{n^2}+1\right)}=\dfrac{\frac{1}{n^2}-n}{\frac{1}{n^2}+1}.
\]
De plus, 
\[
\left.
\begin{aligned}
\limite{n}{+\infty}{\left( \frac{1}{n^2}-n \right)} = -\infty\\
\limite{n}{+\infty}{\left( \frac{1}{n^2}+1 \right)} = 1
\end{aligned}
\right\}\Rightarrow \limite{n}{+\infty}{\dfrac{\frac{1}{n^2}-n}{\frac{1}{n^2}+1}}=-\infty\text{ (par quotient)}.
\]
On a :
\[
\dfrac{(-1)^n-n^3}{1+n^2} \leqslant \underbrace{\dfrac{1-n^3}{1+n^2}}_{\color{red}\to-\infty}
\]
donc, d'après le théorème de comparaison,
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}{\dfrac{(-1)^n-n^3}{1+n^2}}=-\infty}
\]
\end{enumerate}
\begin{rem}
Quand on a un encadrement de la forme $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$ et que l'on souhaite déterminer la limite de $u_n$, il suffit de prendre une partie de cet encadrement quand $\limite{n}{+\infty}{v_n}$ et/ou $\limite{n}{+\infty}{w_n}$ est infinie, car le théorème des gendarmes ne fonctionne pas avec une limite infinie.
\end{rem}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{construction graphique des premiers termes}[2]
Dans un repère orthonormé, construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite \suite{u}{n}{} définie par son premier terme $u_0=10$ et par la relation de récurrence\linebreak $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$.

\tcblower

Le fait que $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$ nous dit que $u_{n+1}=f(u_n)$, avec $f(x)=\sqrt{2+x}$. Il faut donc tracer la courbe représentative de la fonction $f$ (en rouge ci-dessous) ainsi que la droite d'équation $y=x$ (en orange ci-dessous) pour transformer les images (en ordonnées) en abscisses.

\begin{tikzpicture}[baseline=3.8cm,xscale=1,yscale=1]
\draw[dotted,gray,opacity=0.5] (-1,-1) grid[step=0.2] (15,4);
\draw[gray,opacity=0.5] (-1,-1) grid (15,4);
\draw[thick,->,>=latex] (-1,0) -- (15,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1) -- (0,4);
\clip (-1,-1) rectangle (15,4);
\draw[thick,orange] plot[domain=-1:15] (\x,\x) node[below left,rotate=45.0,scale=0.7,outer xsep=3mm] {$y=x$};
\draw[thick,red] plot[domain=0:13,samples=100] (\x,{sqrt(\x+2)});
% Graduation des axes
\draw[thick] (-1,0.1/1) -- (-1,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {-1};
\draw[thick] (1,0.1/1) -- (1,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {1};
\draw[thick] (2,0.1/1) -- (2,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {2};
\draw[thick] (3,0.1/1) -- (3,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {3};
\draw[thick] (4,0.1/1) -- (4,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {4};
\draw[thick] (5,0.1/1) -- (5,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {5};
\draw[thick] (6,0.1/1) -- (6,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {6};
\draw[thick] (7,0.1/1) -- (7,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {7};
\draw[thick] (8,0.1/1) -- (8,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {8};
\draw[thick] (9,0.1/1) -- (9,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {9};
\draw[thick] (10,0.1/1) -- (10,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {10};
\draw[thick] (11,0.1/1) -- (11,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {11};
\draw[thick] (12,0.1/1) -- (12,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {12};
\draw[thick] (13,0.1/1) -- (13,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {13};
\draw[thick] (14,0.1/1) -- (14,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {14};
\draw[thick] (15,0.1/1) -- (15,-0.1/1) node[below,outer sep=2mm] {15};
\draw[thick] (0.1/1,-1) -- (-0.1/1,-1) node[left] {-1};
\draw[thick] (0.1/1,1) -- (-0.1/1,1) node[left] {1};
\draw[thick] (0.1/1,2) -- (-0.1/1,2) node[left] {2};
\draw[thick] (0.1/1,3) -- (-0.1/1,3) node[left] {3};
\draw[thick] (0.1/1,4) -- (-0.1/1,4) node[left] {4};
\draw[dashed,purple] (10,0) node[below,scale=0.5,outer ysep=3mm] {$u_{0}$} -- (10,3.4641016151377544);
\draw[dashed,purple] (10,3.4641016151377544) -- (3.4641016151377544,3.4641016151377544);
\draw[dashed,purple] (3.4641016151377544,3.4641016151377544) -- (3.4641016151377544,0);
\draw[dashed,purple] (3.4641016151377544,0) node[below,scale=0.5,outer ysep=3mm] {$u_{1}$} -- (3.4641016151377544,2.3375417889607353);
\draw[dashed,purple] (3.4641016151377544,2.3375417889607353) -- (2.3375417889607353,2.3375417889607353);
\draw[dashed,purple] (2.3375417889607353,2.3375417889607353) -- (2.3375417889607353,0);
\draw[dashed,purple] (2.3375417889607353,0) node[below,scale=0.5,outer ysep=3mm] {$u_{2}$} -- (2.3375417889607353,2.0826765925031987);
\draw[dashed,purple] (2.3375417889607353,2.0826765925031987) -- (2.0826765925031987,2.0826765925031987);
\draw[dashed,purple] (2.0826765925031987,2.0826765925031987) -- (2.0826765925031987,0);
\node[below,scale=0.5,outer ysep=3mm,purple] at (2.0826765925031987,0) {$u_{3}$};
%
\end{tikzpicture}

\medskip

On peut alors conjecturer que la limite de cette suite est l'abscisse du point d'intersection de la courbe avec la droite, soit la solution de l'équation :
\begin{align*}
x=\sqrt{2+x} & \iff x^2 = 2+x\\
& \iff x^2-x-2=0\qquad,\qquad\Delta=9\\
& \iff x = 2.
\end{align*}

\begin{attention}
Ce n'est qu'une conjecture... On pourra le démontrer à l'aide du théorème du point fixe (voir chapitre sur la continuité).
\end{attention}
\end{exocor}


\subsection*{\'Etude complète d'une suite}

%%%

\begin{exocor}{étude d'une suite}[1]
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=u_n+2n+3\quad,\qquad \forall n\in\N
\end{array}
\right.
\]
\begin{enumerate}
\item \'Etudier la monotonie de $\suite{u}{n}{}$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n^2$.
\item Déterminer alors la limite de $\suite{u}{n}{}$.
\end{enumerate}
\item Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis démontrer la propriété conjecturée.
\end{enumerate}

\tcblower 

\begin{enumerate}
\item On a : $\begin{aligned}[t]
u_{n+1}-u_n & = u_n+2n+3-u_n\\
& = 2n+3 > 0
\end{aligned}$

\uline{Ainsi, la suite \suite{u}{n}{} est croissante.}

\newpage

\item
\begin{enumerate}
\item Posons $P(n)$ la propriété : $u_n \geqslant n^2$.
\begin{itemize}
\item {\bfseries Initialisation.}\\
$u_0=1\geqslant 0$ donc $P(0)$ est vraie.

\medskip

\item {\bfseries Hérédité.}\\
Supposons que pour un entier naturel $k$ positif, $P(k)$ est vraie (H.R.). Montrons alors que $P(k+1)$ l'est aussi, c'est-à-dire que $u_{k+1}\geqslant(k+1)^2$.
\begin{align*}
u_{k+1} & = u_k+2k+3\\
& \geqslant k^2+2k+3 \quad \text{(H.R.)}\\
& \geqslant k^2+2k+1+2\\
& \geqslant (k+1)^2+2\\
& \geqslant (k+1)^2
\end{align*}

L'hérédité est alors vérifiée.

\medskip

\item {\bfseries Conclusion.}\\
Quel que soit l'entier naturel $k$, $P(k)\Rightarrow P(k+1)$.\\
Ainsi, d'après le principe de récurrence, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}

\item D'après le théorème de comparaison des suites et d'après la question précédente, on a :
\[ 
\lim_{n\to+\infty} u_n \geqslant \lim_{n\to+\infty} n^2
\]
Or, $\lim\limits_{n\to+\infty} n^2 = +\infty$ ; donc  \[ \boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty}\]
\end{enumerate}

\item Calculons les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ :
\begin{align*}
u_0 & =1\\
u_1 & = u_0+2\times 0+3 = 4\\
u_2 & = u_1+2\times 1+3=9\\
u_3 & = u_2+2\times 2+3=16\\
u_4 & = u_3+2\times 3+3=25
\end{align*}
On peut alors conjecturer que $u_n=(n+1)^2$. Montrons cela par récurrence.
\begin{itemize}
\item {\bfseries Initialisation.}\\
Faite précédemment.

\medskip

\item {\bfseries Hérédité.}\\
On suppose que pour un entier naturel $k$, $u_k=(k+1)^2$ (qui constitue la propriété $P(k)$). Montrons que $u_{k+1}=(k+2)^2$.
\begin{align*}
u_{k+1} & =u_k+2k+3\\
& = (k+1)^2+2k+3\\
& = k^2+4k+4\\
& = (k+2)^2
\end{align*}

L'hérédité est alors vérifiée.

\medskip

\item {\bfseries Conclusion.}\\
Quel que soit l'entier naturel $k$, $P(k)\Rightarrow P(k+1)$.\\
Ainsi, d'après le principe de récurrence, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel~$n$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{récurrence et théorème de convergence}[2]
Soit la fonction $f$ définie sur \intervFF{0}{2} par : $f(x)=\dfrac{2x+1}{x+1}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les variations de $f$ sur \intervFF{0}{2}.\\
Montrer alors l'implication suivante : \[x\in\intervFF{1}{2} \Rightarrow f(x)\in\intervFF{1}{2}.\]
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=f\left(u_n\right)\quad,\qquad\forall n\in\N
\end{array}
\right.
\]
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\in\intervFF{1}{2}$ et que $u_n\leqslant u_{n+1}$.
\item En déduire que la suite \suite{u}{n}{} converge.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On a : 
\[ 
f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}>0. 
\]
Donc $f$ est strictement croissante sur \intervFF{0}{2}.

On en déduit alors :
\[ 1 \leqslant x \leqslant 2 \Rightarrow f(1)\leqslant f(x) \leqslant f(2)\]
Or, $f(1)=\dfrac{3}{2}>1$ et $f(2)=\dfrac{5}{3}<2$.

Ainsi, 
\[
\boxed{x\in\intervFF{1}{2} \Rightarrow f(x)\in\intervFF{1}{2}}
\]

\item Soit $P(n)$ la propriété : $u_n\in\intervFF{1}{2}$. 

Démontrons qu'elle est vraie pour tout entier naturel $n$ par récurrence.
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation}.\\
$u_0=1\in\intervFF{1}{2}$.

\item \textit{Hérédité}.\\
Supposons que $P(k)$ soit vraie, où $k$ est un entier naturel. Montrons alors que $P(k+1)$ l'est aussi.\\
D'après la question précédente, on a : $ u_k\in\intervFF{1}{2} \Rightarrow f\left(u_k\right)\in\intervFF{1}{2}$.\\
Or, $f\left(u_k\right)=u_{k+1}$ donc $P(k+1)$ est vraie.\\
L'hérédité est alors vérifiée.
\end{itemize}
Ainsi, d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

\medskip

De plus, $f$ est croissante sur \intervFF{1}{2} donc $f\left(u_n\right)>u_n$, c'est-à-dire : $u_{n+1}>u_n$.

\item De la question précédente, on peut conclure que la suite \suite{u}{n}{} est croissante et bornée, donc majorée. Or, \textit{toute suite croissante et majorée converge}. 

Donc \suite{u}{n}{} est convergente.
%\medskip
%
%Posons alors $\ell=\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$. Nous savons que $u_n\in[1;2]$ pour tout entier naturel $n$, donc $\ell\in\intervFF{1}{2}$.
%
%On a alors :
%\begin{align*}
%u_{n+1}=f\left(u_n\right) & \iff \lim\limits_{n\to+\infty} u_{n+1} = \lim\limits_{n\to+\infty} f\left(u_n\right)\\
%& \iff \ell = f(\ell)\quad\text{car }f\text{ est continue}\\
%&\iff \ell = \frac{2\ell+1}{\ell+1}\\
%& \iff \ell^2+\ell=2\ell+1\\
%&\iff\ell^2-\ell-1=0.
%\end{align*}
%Le discriminant du polynôme $\ell^2-\ell-1$ est $\Delta=5$ donc il possède deux racines :\\$\ell_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}<0$ et $\ell_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\in\intervFF{1}{2}$. Ainsi, $\ell=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{étude d'une suite homographique}[2]
Soit la suite \suite{u}{n}{} définie par : $\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=\dfrac{u_n+6}{u_n+2}\quad,\qquad\forall n\in\N
\end{array}
\right.$

Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+3}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite \suite{v}{n}{} est géométrique. On précisera alors son premier terme et sa raison.
\item En déduire la limite de la suite \suite{u}{n}{}.
\end{enumerate}
\vspace{-1.7em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On a $v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+3}$. Alors :
\begin{align*}
v_{n+1} & = \frac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}+3} = \frac{\tfrac{u_n+6}{u_n+2}-2}{\tfrac{u_n+6}{u_n+2}+3}  = \frac{u_n+6-2u_n-4}{u_n+2}\times\frac{u_n+2}{u_n+6+3u_n+6}\\
& = \frac{-u_n+2}{4u_n+12} = -\frac{1}{4}\times\frac{u_n-2}{u_n+3} = -\frac{1}{4}v_n\;.
\end{align*}
Ainsi, la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0=\dfrac{u_0-2}{u_0+3}=-\dfrac{1}{4}$ et de raison $q=-\dfrac{1}{4}$.

\item La suite $\left(v_n\right)$ converge vers \og 0 \fg{} comme suite géométrique de raison strictement comprise entre $-1$ et $1$. Ainsi :
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty} \frac{u_n-2}{u_n+3}=0 & \Rightarrow \lim_{n\to+\infty} \left(u_n-2\right)=0\\
& \Rightarrow \boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=2}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{suite homographique \& suite arithmétique}[2]
On considère la suite \suite{u}{n}{} définie par :
$
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=3\\
u_{n+1}=\dfrac{4u_n-1}{4u_n}\quad,\qquad\forall n\in\N
\end{array}
\right.
$ 
et la suite \suite{v}{n}{}\linebreak définie pour tout entier naturel $n$ par : $ v_n=\dfrac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{v}{n}{} est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.
\item En déduire $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1}-v_n & = \frac{1}{u_{n+1}-\tfrac{1}{2}}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\
& = \frac{1}{\tfrac{4u_n-1}{4u_n}-\tfrac{1}{2}}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\
& = \frac{1}{\tfrac{4u_n-1}{4u_n}-\tfrac{2u_n}{4u_n}}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\
& = \frac{1}{\tfrac{2u_n-1}{4u_n}}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\
& = \frac{4u_n}{2u_n-1}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\
& = \frac{2u_n}{u_n-\tfrac{1}{2}}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\
& = \frac{2\left(u_n-\tfrac{1}{2}\right)}{u_n-\tfrac{1}{2}} = 2.
\end{aligned}$

La suite \suite{v}{n}{} est donc arithmétique de premier terme $v_0=\dfrac{1}{u_0-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{5}$ et de raison $r=2$.


\item D'après ce qui précède, $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=+\infty$ car $r>0$ d'où :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}=+\infty\;,\]
ce qui signifie que :
\[ \lim_{n\to+\infty} \left(u_n-\frac{1}{2}\right)=0. \]
D'où :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=\frac{1}{2}} \]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{étude se ramenant à une suite géométrique}[2]
On définit la suite \suite{u}{n}{} pour tout entier naturel $n$ par :
$
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+2n-1
\end{array}
\right.
$

\begin{enumerate}
\item Calculer les 10 premiers termes de cette suite à l'aide de la calculatrice ou d'un tableur.\\
Que peut-on conjecturer quant au sens de variation de \suite{u}{n}{}?
\item On pose $v_n=u_n-4n+10$.
\begin{enumerate}
\item Monter que \suite{v}{n}{} est une suite géométrique que l'on caractérisera.
\item En déduire l'expression de $v_n$ puis celle de $u_n$ en fonction de $n$.
\item On pose :
$ S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+\cdots+u_n.$

Donner l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On trouve :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $u_1=-0,5$
\item $u_2=0,75$
\item $u_3=3,375$
\item $u_4=6,6875$
\item $u_5=10,34375$
\item $u_6=14,171875$
\item $u_7=18,0859375$
\item $u_8=22,04296875$
\item $u_9=26,021484375$
\end{itemize}
\end{multicols}
\uline{On peut alors conjecturer que \suite{u}{n}{} est strictement croissante à partir de $n=1$.}

\item
\begin{enumerate}
\item 
\begin{multicols}{2}
$\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & =u_{n+1}-4(n+1)+10\\
& = \dfrac{1}{2}u_n+2n-1-4n-4+10\\
& = \dfrac{1}{2}u_n-2n+5\\
& = \dfrac{1}{2}\left(u_n-4n+10\right)\\
& = \dfrac{1}{2}v_n\;.
\end{aligned}$

\columnbreak

On déduit alors que \suite{v}{n}{} est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0=u_0-4\times0+10=11$.
\end{multicols}

\item On a alors : $v_n=11\times\dfrac{1}{2^n}$ et donc: $u_n=v_n+4n-10=\dfrac{11}{2^n}+4n-10$.

\item $\begin{aligned}[t]
S_n & = \sum_{k=0}^n \left(\dfrac{11}{2^n}+4n-10\right)\\
& = 11\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{2^k}+4\sum_{k=0}^n k-10\sum_{k=0}^n 1\\
& = 11\left(\dfrac{1-\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}\right)+4\times\dfrac{n(n+1)}{2}-10(n+1)\\
& = 22\left(1-\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)+2(n-5)(n+1).
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 2025

\begin{exocor}{une suite arithmético-géométrique}[2]
On définit la suite \suite{u}{n}{} par:
\[
\begin{cases}
u_0=4\\
u_{n+1}=\frac{1}{4}u_n+12 \qquad \forall n\in\N.
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,
\[
4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 20.
\]
\item Montrer que \suite{u}{n}{} est convergente.
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose: $v_n=u_n-16$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $v_0$.
\item Montrer que \suite{v}{n}{} est géométrique.
\item En déduire une expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de \suite{u}{n}{}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Posons $\mathcal{P}(n):4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 20.$

Démontrons par récurrence que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

$u_1=\dfrac{1}{4}u_0+12=1+12=13$.

On a alors: $4 \leqslant u_0 \leqslant u_{1} \leqslant 20$.

Ainsi, $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

\bigskip

\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier $k$ fixé, $\mathcal{P}(k)$ est vraie.

Montrons alors que $\mathcal{P}(k+1)$ est aussi vraie.
\begin{align*}
\mathcal{P}(k)\text{ vraie} & \Rightarrow 4 \leqslant u_k \leqslant u_{k+1} \leqslant 20\\
& \Rightarrow \frac{1}{4}\times 4 \leqslant \frac{1}{4} u_k \leqslant \frac{1}{4}\times u_{k+1} \leqslant \frac{1}{4}\times 20\\
& \Rightarrow 1+12 \leqslant \frac{1}{4} u_k+12 \leqslant \frac{1}{4} u_{k+1}+12 \leqslant 5+12\\
& \Rightarrow 13 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 17\\
& \Rightarrow {\color{red}4 \leqslant} 13 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 17 {\color{red} \leqslant 20}\\
& \Rightarrow \mathcal{P}(k+1)\text{ vraie}.
\end{align*}

\newpage

\item \textbf{Conclusion.}

$\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}(k) \text{ vraie }\Rightarrow\mathcal{P}(k+1) \text{ vraie }$ donc, d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$, à savoir que:
\[
\forall n\in\N,\qquad 4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 20.
\]
\end{itemize}

\item D'après la question précédente, \suite{u}{n}{} est croissante et majorée (par 20) donc, d'après le théorème de convergence des suites monotones, \suite{u}{n}{} converge.

\item
\begin{enumerate}
\item $v_0=u_0-16=4-16=-12$.
\item Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
v_{n+1} & = u_{n+1}-16\\
& = \frac{1}{4}u_n+12-16\\
& = \frac{1}{4}u_n-4\\
& = \frac{1}{4}\left(u_n - \frac{4}{\tfrac{1}{4}}\right)\\
& = \frac{1}{4}(u_n-16)\\
& = \frac{1}{4}v_n.
\end{align*}

Ainsi, \suite{v}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=\frac{1}{4}$.

\item On déduit de la question précédente que:
\[
v_n = v_0 \times q^n = -12 \times \left(\frac{1}{4}\right)^n
\]
et que:
\[
u_n = v_n+16 = 16-12\times\left(\frac{1}{4}\right)^n.
\]

\item $0 < \frac{1}{4} < 1$ donc $\limite{n}{+\infty}{\left(\frac{1}{4}\right)^n}=0$.

Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{u_n}=16$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{les coccinelles}[2]
On sait tous qu'il y a des années à coccinelles et d'autres sans !\\
On se propose d'étudier l'évolution d'une population de coccinelles à l'aide d'un modèle utilisant la fonction numérique $f$ définie par : \[ f(x) = kx(1-x),\]
$k$ étant un paramètre réel qui dépend de l'environnement.\\
Dans le modèle choisi, on admet que le nombre des coccinelles reste inférieur à un million. L'effectif des coccinelles, exprimé en millions d'individus, est approché pour l'année $n$ par un nombre réel $u_n$ avec $u_n$ compris entre 0 et 1. Par exemple, si pour l'année zéro il y a \numprint{300000} coccinelles, on prendra $u_0=0,3$.\\
On admet que l'évolution d'une année sur l'autre obéit à la relation $u_{n+1}=f(u_n)$, $f$ étant la fonction définie ci-dessus.\\
Le but de l'exercice est d'étudier le comportement de la suite \suite{u}{n}{} pour différentes valeurs de la population initiale $u_0$ et du paramètre $k$. 

\newpage

\begin{enumerate}
\item Supposons $u_0 = 0,4$ et $k = 1$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier le sens de variations de la suite \suite{u}{n}{}.
\item Montrer par récurrence que, pour tout entier $n$, $0\leqslant u_n\leqslant 1$.
\item La suite \suite{u}{n}{} est-elle convergente ? %Si oui, quelle est sa limite ?
\item Que peut-on dire de l'évolution à long terme de la population de coccinelles avec ces hypothèses ? 
\end{enumerate}

\item Supposons maintenant $u_0 = 0,3$ et $k = 1,8$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de la fonction $f$ sur \intervFF{0}{1} et montrer que  $f\left(\frac{1}{2}\right)\in\intervFF{0}{\frac{1}{2}}$.
\item En utilisant éventuellement un raisonnement par récurrence, 
\begin{itemize}
\item montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant \frac{1}{2}$ ;
\item établir que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\geqslant u_n$.
\end{itemize}

\item La suite \suite{u}{n}{} est-elle convergente ? %Si oui, quelle est sa limite  ?
%\item Que peut-on dire de l'évolution à long terme de la population de coccinelles avec ces hypothèses ? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
%\item Notons $\limite{n}{+\infty}{u_n}=\alpha$.\\
%Alors,
%\[
%u_{n+1}=f(u_n) \Rightarrow \limite{n}{+\infty}{u_{n+1}}=\limite{n}{+\infty}{f(u_n)}.
%\]
%Or, $f$ est continue donc $\limite{n}{+\infty}{f(u_n)}= f\left(\limite{n}{+\infty}{u_n}\right)=f(\alpha).$
%
%Ainsi,
%\[
%\boxed{\alpha=f(\alpha)}
%\]

\item $u_{n+1}=u_n(1-u_n)$, $u_0=0,4$.
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
u_{n+1}-u_n & = u_n-u_n^2-u_n\\
& = -u_n^2\\
& \leqslant 0\text{ car un carré est toujours positif ou nul.}
\end{aligned}$

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\leqslant u_n$ ; \underline{la suite \suite{u}{n}{} est donc décroissante.}

\item
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation.}

$u_0=0,4$ donc $0\leqslant u_0 \leqslant 1$.

\item \textit{Hérédité.}

On suppose que pour un entier $n$ donné, $0\leqslant u_n\leqslant 1$.

$u_{n+1}=u_n(1-u_n)$ ; de plus, par hypothèse de récurrence, $0\leqslant u_n\leqslant 1$ et donc:
\[0\leqslant1-u_n\leqslant1.\]

Par produit, $0\leqslant u_n(1-u_n)\leqslant1$. Donc $0\leqslant u_{n+1}\leqslant1$.

L'hérédité est alors vérifiée : $u_n\Rightarrow u_{n+1}$.
\end{itemize}

\underline{Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n\leqslant 1$.}

\item La suite \suite{u}{n}{}étant décroissante et minorée, elle converge d(après le théorème de convergence des suites monotones. 
%Sa limite $\alpha$ vérifie :
%\begin{align*}
%\alpha = \alpha(1-\alpha) & \iff \alpha = \alpha - \alpha^2\\
%& \iff 0 = -\alpha^2\\
%& \iff \alpha = 0.\quad \text{\underline{Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{u_n}=0$.}}
%\end{align*}

\item Avec de telles hypothèses, la population de coccinelles tend à disparaître.
\end{enumerate}

\item $u_{n+1}=1,8u_n(1-u_n)$, $u_0=0,3$.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=1,8x(1-x)=1,8(x-x^2)$ donc $f'(x)=1,8(1-2x)$.

Donc $\begin{aligned}[t]
f'(x)\geqslant0 & \iff 1-2x \geqslant 0\\
& \iff 1 \geqslant 2x\\
& \iff x\leqslant\dfrac{1}{2}
\end{aligned}$

De plus, $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1,8\times0,5\times1,5=0,45\in\intervFF{0}{\dfrac{1}{2}}$. D'où le tableau:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep=0pt,outer sep=0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]{$x$/0.8,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{0,$\frac{1}{2}$,1}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/0,+/{0,45},-/0}
\end{tikzpicture}
};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item 
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation.}

$u_0=0,3$ et $u_1=f(0,3)=1,8\times0,3\times0,7=0,378$.

Donc $0\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant \dfrac{1}{2}$.

\newpage

\item \textit{Hérédité.}

Supposons que pour un entier $n$ donné, $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2}$. 
\begin{align*}
& 0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac{1}
{2}\\
\iff\ & f(0)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f\left(\dfrac{1}{2}\right)\quad\text{ car $f$ est croissante sur }\intervFF{0}{\dfrac{1}{2}}\\
\iff\ & 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant \dfrac{1}{2}.\text{ L'hérédité est alors vérifiée.}
\end{align*}
\end{itemize}

Ainsi, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$ : $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2}$

\item De la question précédente, on déduit que \suite{u}{n}{}est croissante ($u_{n+1}\geqslant u_n$) et majorée (par $\dfrac{1}{2}$) donc elle converge. 
%Sa limite $\alpha$ vérifie :
%\begin{align*}
%\alpha=f(\alpha) & \iff \alpha = 1,8\alpha(1-\alpha) \iff 1=1,8(1-\alpha)\qquad\text{car }\alpha\neq0\\
%& \iff \dfrac{1}{1,8} = 1-\alpha \iff \alpha = 1-\dfrac{1}{1,8}\\
%& \iff \alpha = \dfrac{4}{9} \approx 0,444... \text{ \underline{Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{u_n}=\dfrac{4}{9}$.}}
%\end{align*}
%
%\item On conclut de la question précédente qu'à long terme, la population de coccinelles se rapprochera de \numprint{4444444}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{suites d'abscisses et convergence}[2]
On se donne deux points distincts A$_0$ et B$_0$.

Soit A$_1$ le milieu du segment [A$_0$B$_0$] et B$_1$ celui de [A$_0$A$_1$].

De façon générale, pour tout entier naturel $n$, on désigne par :
\[
\text{A}_{n+1}~\text{le milieu du segment}~[\text{A}_n\text{B}_n]\quad\text{et}\quad\text{B}_{n+1}~\text{le milieu du segment}~[\text{A}_n\text{A}_{n+1}].
\]

On munit la droite $(\text{A}_0\text{B}_0)$ du repère $\left(\text{A}_0~;\vv{\imath}\right)$ avec $\vv{\imath}=\vv{\text{A}_0\text{B}_0}$.

On note $a_n$ et $b_n$ les abscisses respectives des points A$_n$ et B$_n$ dans le repère$\left(\text{A}_0~;\vv{\imath}\right)$.

On a donc $a_0 = 0$ et $b_0 = 1$.

\begin{enumerate}
\item Construire une droite (A$_0$B$_0$) en prenant A$_0$B$_0$ = 10 cm.

Sur cette droite, placer les points A$_1$ et B$_1$, puis les points A$_2$ et B$_2$.

Calculer les valeurs de $a_1$, $b_1$, $a_2$ et $b_2$.

\item Exprimer $a_{n +1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.

\item Démontrer que la suite \suite{u}{n}{} définie par :
\[u_n=a_n-b_n\]
est géométrique.
\item Démontrer que la suite \suite{v}{n}{} définie par :
\[v_n=3a_n+2b_n\]
est constante.

\item Les suites \suite{a}{n}{} et \suite{b}{n}{} sont-elles convergentes ?

Que peut-on en déduire pour les points A$_n$ et B$_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item ~\par
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (-2,0) -- (12,0);
\draw (0,-.2)--(0,0.2) node[above] {A$_0$};
\draw (10,-.2)--(10,0.2) node[above] {B$_0$};
\draw (5,-.2)--(5,0.2) node[above] {A$_1$};
\draw (2.5,-.2)--(2.5,0.2) node[above] {B$_1$};
\draw (3.75,-.2)--(3.75,0.2) node[above] {A$_2$};
\draw ({7/16},-.2)--({7/16},0.2) node[above] {B$_2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{itemize}
\begin{multicols}{2}
\item $a_1=\dfrac{a_0+b_0}{2}=\dfrac{1}{2}$
\item $b_1=\dfrac{a_0+a_1}{2}=\dfrac{1}{4}$
\item $a_2=\dfrac{a_1+b_1}{2}=\dfrac{3}{8}$
\item $b_2=\dfrac{a_1+a_2}{2}=\dfrac{7}{16}$
\end{multicols}
\end{itemize}

\item On peut s'inspirer de ce qui a été fait à la question précédente pour écrire :
\[
\boxed{a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}}\qquad;\qquad\boxed{b_{n+1}=\dfrac{a_n+a_{n+1}}{2}}
\]

\item $\begin{aligned}[t]
u_{n+1} & = a_{n+1}-b_{n+1}\\
& = \dfrac{a_n+b_n}{2}-\dfrac{a_n+a_{n+1}}{2}\\
& = \dfrac{b_n-a_{n+1}}{2}
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
u_{n+1} & = \dfrac{b_n-\frac{a_n+b_n}{2}}{2}\\
& = \dfrac{2b_n-a_n-b_n}{4}\\
& = \dfrac{b_n-a_n}{4}\\
& = -\dfrac{1}{4}\times(a_n-b_n)\\
\Aboxed{u_{n+1} & =-\dfrac{1}{4}u_n}
\end{aligned}$

\underline{La suite \suite{u}{n}{} est donc géométrique de raison $q=-\dfrac{1}{4}$.}

\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = 3a_{n+1}+2b_{n+1}\\
& = \dfrac{3a_n+3b_n}{2}+\dfrac{2a_n+2a_{n+1}}{2}\\
& = \dfrac{5a_n+3b_n+2a_{n+1}}{2}\\
& = \dfrac{5a_n+3b_n+2\frac{a_n+b_n}{2}}{2}\\
& = \dfrac{10a_n+6b_n+2a_n+2b_n}{4}\\
& = \dfrac{12a_n+8b_n}{4}\\
& = 3a_n+2b_n\\
\Aboxed{v_{n+1}& = v_n}
\end{aligned}$

\underline{Ainsi, la suite \suite{v}{n}{} est constante.}

\item D'après les questions 3 et 4, on a :
\[
\left\{
\begin{array}{l@{~=~}ll}
u_n & a_n-b_n & L_1\\
v_n & 3a_n+2b_n & L_2
\end{array}
\right.\quad \text{soit :} \quad 
\left\{
\begin{array}{l@{~=~}ll}
3u_n-v_n & -5b_n & 3L_1-L_2\\
2u_n+v_n & 5a_n& 2L_1+L_2
\end{array}
\right.
\]
D'où :
\[
a_n=\dfrac{2u_n+v_n}{5}\qquad\text{et}\qquad b_n=\dfrac{v_n-3u_n}{5}.
\]
Or, \suite{u}{n}{} est géométrique donc :
\[ u_n=u_0q^n=\underbrace{(-1)}_{=a_0-b_0}\times\left(-\dfrac{1}{4}\right)^n.\]
De plus, \suite{v}{n}{}est constante donc :
\[ v_n=v_0=3a_0+2b_0=2.\]
On a alors :
\[
\boxed{a_n=\dfrac{-2\left(-\frac{1}{4}\right)^n+2}{5}}\qquad\text{et}\qquad \boxed{b_n=\dfrac{2+3\left(-\frac{1}{4}\right)^n}{5}}.
\]

Or, $\limite{n}{+\infty}{\left(-\dfrac{1}{4}\right)^n}=0$ car $-1<-\dfrac{1}{4}<1$. Ainsi, 
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}{a_n}=\dfrac{2}{5}}\qquad\text{et}\qquad\boxed{\limite{n}{+\infty}{b_n}=\dfrac{2}{5}}.
\]

On peut déduire alors que les points A$_n$ et B$_n$ se rapprochent de plus en plus du point d'abscisse $\dfrac{2}{5}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{suites imbriquées}[2]
Soient deux suites \suite{u}{n}{} et \suite{v}{n}{} telles que :
\[ u_0=v_0=\dfrac{1}{2}\qquad;\qquad\forall n\in\N,\ \left\lbrace\begin{array}{l}
u_{n+1}=0,6u_n+0,3v_n\\
v_{n+1}=0,4u_n+0,7v_n
\end{array} \right.\]

On pose alors pour tout entier naturel $n$ :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
a_n=u_n+v_n\\
b_n=4u_n-3v_n
\end{array}
\right.
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{a}{n}{} est constante.
\item Montrer que \suite{b}{n}{} est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
\item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis celle de $v_n$ en fonction de $n$.
\item Démontrer que \suite{u}{n}{} converge et donner sa limite.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
a_{n+1} & = u_{n+1}+v_{n+1}\\
& = 0,6u_n+0,3v_n+0,4u_n+0,7v_n\\
& = u_n+v_n\\
& = a_n.
\end{aligned}$

\uline{Ainsi, \suite{a}{n}{} est constante.}

Or, $a_0=u_0+v_0=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$ donc $a_n=1$ pour tout entier naturel $n$.

\item $\begin{aligned}[t]
b_{n+1} & = 4u_{n+1}-3v_{n+1}\\
& = 4(0,6u_n+0,3v_n)-3(0,4u_n+0,7v_n)\\
& = 2,4u_n+1,2v_n-1,2u_n-2,1v_n\\
& = 1,2u_n-0,9v_n\\
& = 0,3\left(4u_n-3v_n\right)\\
& = 0,3b_n.
\end{aligned}$

Ainsi, \uline{\suite{b}{n}{} est une suite géométrique} de raison $q=0,3$ et de premier terme :
\begin{align*}
b_0 & =4u_0-3v_0\\
& = 4\times0,5-3\times0,5\\
b_0 & = 0,5.
\end{align*}

\item D'après la question précédente, on peut écrire :
\[
\forall n\in\N,\ b_n=\dfrac{1}{2}(0,3)^n.
\]
De plus, on a :
\begin{align*}
\left\lbrace
\begin{array}{l}
a_n=u_n+v_n\\
b_n=4u_n-3v_n
\end{array}
\right. & 
\iff\ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
3a_n=3u_n+3v_n\\
b_n=4u_n-3v_n
\end{array}
\right.\\
 & \iff\
\left\lbrace
\begin{array}{l}
b_n=4u_n-3v_n\\
3a_n+b_n=7u_n
\end{array}
\right.\\
& \iff\
\left\lbrace
\begin{array}{l}
3v_n=4\left(\frac{3}{7}a_n+\frac{1}{7}b_n\right)-b_n\\[8pt]
u_n=\frac{3}{7}a_n+\frac{1}{7}b_n
\end{array}
\right.\\
& \iff\
\left\lbrace
\begin{array}{l}
v_n=\frac{4}{7}a_n-\frac{1}{7}b_n\\[8pt]
u_n=\frac{3}{7}a_n+\frac{1}{7}b_n
\end{array}
\right.\\
& \iff\
\left\lbrace
\begin{array}{l}
v_n=\frac{4}{7}-\frac{1}{14}(0,3)^n\\[8pt]
u_n=\frac{3}{7}+\frac{1}{14}(0,3)^n
\end{array}
\right.\\
\end{align*}

\item $\limite{n}{+\infty}{(0,3)^n}=0$ car $0<0,3<1$.\\
Ainsi, $\boxed{\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=\dfrac{3}{7}}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{les états du manchot: avec des probabilités}[2]
Dans un zoo, l'unique activité d'un manchot est l'utilisation d'un bassin aquatique équipé d'un toboggan et d'un plongeoir.

On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu'il le reprenne est $0,3$.

Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu'il le reprenne est $0,8$.
 
Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d'être choisis.

\medskip
  
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'événement : 
\begin{itemize}
\item $T_{n}$ : \og le manchot utilise le toboggan lors de son $n$-ième passage. \fg 
\item $P_{n}$ : \og le manchot utilise le plongeoir lors de son $n$-ième passage. \fg
\end{itemize}
On considère alors la suite \suite{u}{n}{n\geqslant1} définie par : 
\[u_{n} = p\left(T_{n}\right)\] 
où $p\left(T_{n}\right)$ est la probabilité de l'événement $T_{n}$.
 
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  Donner les valeurs des probabilités $p\left(T_{1}\right)$, $p\left(P_{1}\right)$ et des probabilités conditionnelles $p_{T_{1}}\left(T_{2}\right)$, $p_{P_{1}}\left(T_{2}\right)$. 
\item  Montrer que $p\left(T_{2}\right) = \dfrac{1}{4}$. 

\item  Recopier et compléter l'arbre suivant:	

\begin{center} 
\begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
\node (omega) at (0,0) {$\Omega$};
\draw (omega) -- (2,2) node[right] (t) {$T_n$};
\draw (omega) -- (2,-2) node[right] (p) {$P_n$};
\draw (t) -- (4,3) node[right] (ts) {$T_{n+1}$};
\draw (t) -- (4,1) node[right] (ps) {$P_{n+1}$};
\draw (p) -- (4,-1) node[right] (tss) {$T_{n+1}$};
\draw (p) -- (4,-3) node[right] (pss) {$P_{n+1}$};
\node[above left] at ($0.5*(omega)+0.5*(t)$) {$u_n$};
\node[below left] at ($0.5*(omega)+0.5*(p)$) {$\cdots$};
\node[above left] at ($0.5*(t)+0.5*(ts)$) {$\cdots$};
\node[below left] at ($0.5*(t)+0.5*(ps)$) {$\cdots$};
\node[above left] at ($0.5*(p)+0.5*(tss)$) {$\cdots$};
\node[below left] at ($0.5*(p)+0.5*(pss)$) {$\cdots$};
\end{tikzpicture}
\end{center} 
\item Démontrer que pour tout entier $n~\geqslant~1, u_{n+1} = 0,1 u_{n} + 0,2$. 
\item À l'aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant  1$ par:  
\[v_{n} = u_{n} - \dfrac{2}{9}.\]
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{10}$. Préciser son premier terme.
\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Calculer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en 1.e. ?
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $T_{1}$ et $P_{1}$ étant équiprobables,  $\uline{p\left(T_{1}\right) =  p\left(P_{1}\right) = 0,5}.$

D'après l'énoncé la probabilité de prendre le toboggan après avoir pris le plongeoir est égale à $\uline{p_{P_{1}}\left(T_{2}\right) = 1 - 0,8 = 0,2}$.

Toujours d'après l'énoncé $\uline{p_{T_{1}}\left(T_{2}\right) = 0,3}$.

\item  D'après la formule des probabilités totales :

$p\left(T_{2}\right) = p\left(T_{1} \cap T_{2}\right) + p\left(P_{1} \cap T_{2}\right) = 0,5 \times 0,3 + 0,5 \times 0,2 = 0,15 + 0,1 = 0,25 = \dfrac{1}{4}.$

\item  L'arbre est le suivant :
\begin{center} 
\begin{tikzpicture}[yscale=0.8]
\node (omega) at (0,0) {$\Omega$};
\draw (omega) -- (2,2) node[right] (t) {$T_n$};
\draw (omega) -- (2,-2) node[right] (p) {$P_n$};
\draw (t) -- (4,3) node[right] (ts) {$T_{n+1}$};
\draw (t) -- (4,1) node[right] (ps) {$P_{n+1}$};
\draw (p) -- (4,-1) node[right] (tss) {$T_{n+1}$};
\draw (p) -- (4,-3) node[right] (pss) {$P_{n+1}$};
\node[above left] at ($0.5*(omega)+0.5*(t)$) {$u_n$};
\node[below left] at ($0.5*(omega)+0.5*(p)$) {$1-u_n$};
\node[above left] at ($0.5*(t)+0.5*(ts)$) {$0,3$};
\node[below left] at ($0.5*(t)+0.5*(ps)$) {$0,7$};
\node[above left] at ($0.5*(p)+0.5*(tss)$) {$0,2$};
\node[below left] at ($0.5*(p)+0.5*(pss)$) {$0,8$};
\end{tikzpicture}
\end{center} 

\item Toujours d'après la formule des probabilités totales :
\begin{align*}
u_{n+1} &= p\left(T_{n+1}\right)\\
& = p\left(T_{n} \cap T_{n+1}\right) +  p\left(P_{n} \cap T_{n+1} \right) \\
&= u_{n} \times 0,3 + \left(1 - u_{n}\right) \times 0,2\\
& = 0,3u_{n} + 0,2 - 0,2u_{n}\\
& = 0,1u_{n} + 0,2.
\end{align*}

\item La calculatrice donne $u_{1} = 0,5\:;\:u_{2} = 0,25\:;\:u_{3} = 0,225\:;\:u_{4} = 0,225\:;\:u_{5} = 0,2225$.

Il semble que $u_{n}$ ait pour limite $0,222\ldots$.
\end{enumerate} 

\item 
\begin{enumerate}
\item  $\begin{aligned}[t]
		v_{n+1} &= u_{n+1} - \dfrac{2}{9}\\
		& = 0,1u_{n} + 0,2 - \dfrac{2}{9}\\
		& = \dfrac{1}{10}u_{n} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{9}\\
		& = \dfrac{1}{10}u_{n} -  \dfrac{1}{45}\\
		& = \dfrac{1}{10}\left(u_{n} - \dfrac{2}{9} \right) = \dfrac{1}{10}v_{n}.
\end{aligned}$

La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{10}$ ; son premier terme est :
\[
v_{1} = u_{1} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{5}{18}.
\]

\item On sait que $v_{n} = v_{1}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1} = \dfrac{5}{18}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1}$.

Comme $u_{n} = v_{n} + \dfrac{2}{9}$, on a $u_{n} = \dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{18}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1}$.  

\item Comme $0 < \dfrac{1}{10}< 1,\:\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}  u_{n} = \dfrac{2}{9}$.

Or $\dfrac{2}{9} = 0,222 \ldots$ ce qui valide la conjecture  faite à la question 1. e.
\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{probabilités et mouvement d'une puce}[2]
On étudie le mouvement aléatoire d'une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C. Soit $n$ un entier naturel. \`A l'instant initial $n=0$, la puce se trouve en A.

\begin{itemize}
\item  Si à l'instant $n$ la puce est en A, alors à l'instant $(n+1)$, elle est soit en B avec une probabilité égale à $\dfrac{1}{2}$, soit en C avec une probabilité égale à $\dfrac{2}{3}$.

\item Si à l'instant $n$ la puce est en B, alors à l'instant $(n+1)$, elle est soit en A, soit en C de façon équiprobable.

\item Si à l'instant $n$ la puce est en C, alors elle y reste.
\end{itemize}

On désigne par A$_n$ (resp. B$_n$ et C$_n$) l'événement :\\ \og \`A l'instant $n$, la puce est en A (resp. B et C). \fg

On pose $a_n=\proba{A_n}$, $b_n=\proba{B_n}$, et $c_n=\proba{C_n}$.

On a donc $a_0=1$, $b_0=c_0=0$.

Pour traiter cet exercice, on pourra s'aider d'arbres pondérés.

\begin{enumerate}
\item \'Etude du mouvement pour $1\leqslant n \leqslant 3$.

\begin{enumerate}
\item Donner $a_1$ , $b_1$ et $c_1$. Calculer $a_1+b_1+c_1$.
\item \`A l'instant $n=2$, dans quelles cases la puce peut-elle se trouver ? Déterminer $a_2$, $b_2$ et $c_2$.
\item \`A l'instant $n=3$, dans quelles cases la puce peut-elle se trouver ? En déduire $a_3$. Calculer $b_3$ et vérifier que $c_3=\dfrac{17}{18}$.
\end{enumerate}

\item \'Etude du cas général.

\begin{enumerate}
\item Conjecturer les cases sur lesquelles la puce peut se trouver à l'instant $n$ lorsque l'entier $n$ est pair ($n=2k$ avec $k\in\N$), et les cases sur lesquelles elle peut se trouver si l'entier $n$ est impair ($n=2k+1$ avec $k\in\N$).

En déduire (sans autre justification) la valeur de $a_{2k+1}$.

\item Démontrer que :
\[
\left\{
\begin{array}{l@{=}l}
b_{2k+1}&\dfrac{1}{3}a_{2k}\\[10pt]
a_{2k+2}&\dfrac{1}{2}b_{2k+1}
\end{array}
\right.
\]

\item Démontrer que pour tout entier naturel $k$, $a_{2k}=\dfrac{1}{6^k}$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le plus petit entier naturel N tel que :
\[
\forall n\in\N,\quad n\geqslant N \Rightarrow a_n\leqslant 10^{-6}.
\]

\item Montrer que la suite \suite{a}{n}{} est convergente et préciser sa limite.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Faisons un bel arbre de probabilités pour nous aider :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.4]
\node (A0) at (0,0) {A$_0$};
\node (B1) at (2,2) {B$_1$};
\node (C1) at (2,-2) {C$_1$};
\draw (A0.east) -- (B1.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{1}{3}$};
\draw (A0.east) -- (C1.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{2}{3}$};
\node (A2) at (4,3.5) {A$_2$};
\node (C2) at (4,0.5) {C$_2$};
\draw (B1.east) -- (A2.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{1}{2}$};
\draw (B1.east) -- (C2.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{1}{2}$};
\node (C2b) at (4,-2) {C$_2$};
\draw (C1.east) -- (C2b.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$1$};
\node (B3) at (6,5.5) {B$_3$};
\node (C3) at (6,2.5) {C$_3$};
\node (C3b) at (6,0.5) {C$_3$};
\node (C3t) at (6,-2) {C$_3$};
\draw (A2.east) -- (B3.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{1}{3}$};
\draw (A2.east) -- (C3.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{2}{3}$};
\draw (C2.east) -- (C3b.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$1$};
\draw (C2b.east) -- (C3t.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$1$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $a_1=\proba{A_1}=0$ ; $b_1=\dfrac{1}{2}$ et $c_1=\dfrac{2}{3}$ d'après l'énoncé.

$a_1+b_1+c_1=1$, ce qui est normal car la somme des probabilités d'événements formant une partition de l'univers est toujours égale à 1.

\item \`A l'instant $n=2$, la puce peut se trouver en A ou C car à l'instant $n=1$, elle se trouve en B ou C uniquement.

On a alors les valeurs de $a_2$, $b_2$ et $c_2$ page suivante.

\begin{itemize}
\item $a_2=\probacond{A_2}{B_1}\times\proba{B_1}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$.

\item $b_2=0$.

\item $c_2=1\times\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$.
\end{itemize}


\item Pour $n=3$, la puce se trouve en B ou C.

\begin{itemize}
\item $a_3=0$.

\item $b_3=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{18}$.

\item $c_3=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{17}{18}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item On s'inspire de ce qui a été fait pour conjecturer que $a_{2k+1}=0$. En effet, pour les rangs impairs, la puce ne peut pas \^etre en A car pour les rangs pairs, elle se trouve en A ou C.

\item $b_{2k+1}=\probacond{B_{2k+1}}{A_{2k}}\times\proba{A_{2k}}=\dfrac{1}{3}a_{2k}$.

$a_{2k+2}=\probacond{A_{2k+2}}{B_{2k+1}}\times\proba{B_{2k+1}}=\dfrac{1}{2}b_{2k+1}$.

\item De la question précédente, on déduit: $a_{2k+2}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}a_{2k}=\dfrac{1}{6}a_{2k}$.

Donc: $\begin{aligned}[t]
a_{2k} & = \dfrac{1}{6}a_{2(k-1)} =  \dfrac{1}{6^2}a_{2(k-2)} = \dfrac{1}{6^3}a_{2(k-3)} = \cdots\\
& = \dfrac{1}{6^k}a_{2(k-k)} = \dfrac{1}{6^k}a_0\\
\Aboxed{a_{2k} & = \dfrac{1}{6^k}}\quad\text{car }a_0=1. 
\end{aligned}$
\end{enumerate}

\item $\begin{aligned}[t]
a_n\leqslant10^{-6} & \Rightarrow a_{2k}\leqslant10^{-6}\\
& \Rightarrow \dfrac{1}{6^k}\leqslant10^{-6}\\
& \Rightarrow \ln\dfrac{1}{6^k}\leqslant\ln10^{-6}\\
& \Rightarrow k\ln\dfrac{1}{6}\leqslant-6\ln 10\\
& \Rightarrow k \geqslant\dfrac{-6\ln10}{-\ln6}\\
& \Rightarrow k \geqslant 8 \Rightarrow n \geqslant 4
\end{aligned}$

\underline{Le plus petit entier $n$ tel que $a_n\leqslant10^{-6}$ est donc $n=4$.}

\item $\limite{k}{+\infty}{a_{2k}}=\limite{k}{+\infty}{\dfrac{1}{6^k}}=0$.

\underline{Donc \suite{a}{n}{} converge vers 0.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{exercice de recherche}[3]
On considère la suite \suite{u}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par : $\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n-\dfrac{2}{3}.
\end{array}
\right.$
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite \suite{v}{n}{} par : $v_n=u_n+\lambda$, $\lambda\in\R$. Déterminer le réel $\lambda$ tel que la suite 
soit géométrique.
\item Calculer alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Pour que \suite{v}{n}{} soit géométrique de raison $q$, il faut que, pour tout entier naturel $n$ :
\begin{align*}
v_{n+1} &=qv_n\\
\iff\ \frac{1}{2}u_n-\frac{2}{3}+\lambda & =q\left(u_n+\lambda\right)\\
\iff\ \frac{1}{2}\left(u_n-\frac{4}{3}+2\lambda\right) & =q\left(u_n+\lambda\right).
\end{align*}

Ainsi, il faut que $q=\dfrac{1}{2}$ et que $-\dfrac{4}{3}+2\lambda=\lambda$, soit $\boxed{\lambda=\dfrac{4}{3}}$.

\item \suite{v}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$, donc elle converge vers $0$ (car sa raison est strictement comprise entre 0 et 1).

\medskip

Ainsi, $\lim\limits_{n\to+\infty} \left(u_n+\dfrac{4}{3}\right)=0$, ce qui signifie que $\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=-\dfrac{4}{3}}$.
\end{enumerate}
\vspace*{3cm}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{les suites de Héron}[3]
Pour un réel $a$ strictement positif quelconque, on considère la suite \suite{u}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
\begin{cases}
u_0 & > 0\\
u_{n+1} & = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{a}{u_n}\right)
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
\item Compléter la fonction Python (page suivante) afin que l'instruction :

\begin{console}
>>> heron(4,7,20)
\end{console}

retourne les $n+1$ premiers termes de la suite \suite{u(4)}{n}.

\begin{python}
def heron(a,u,n):
    if u <=0:
        return "Le premier terme doit être strictement positif."
    elif a <= 0:
        return "La valeur de 'a' doit être strictement positive."
    else:
        L = [ ... ]
        k = 0
        while k < ...:
            u = ...
            L.append(...)
            k = ...
        return ...
\end{python}

\item L'instruction renvoie alors la liste suivante:
\begin{console}
[7, 3.7857142857142856, 2.4211590296495955, 2.0366301688743387, 2.0003294091613366, 2.0000000271231317, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0]
\end{console}

Faites deux conjectures à partir de ces valeurs.
\end{enumerate}

On se propose d'étudier mathématiquement la suite $\suite{u}{n}{}$ pour une valeur de $a>0$.

Pour cela, on introduit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par :
\[ 
f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x + \frac{a}{x}\right)
\]

\begin{enumerate}[start=3]
\item Calculer $f'(x)$, puis donner les variations de $f$ sur \intervOO{0}{+\infty} en fonction de $a$.
\item En déduire que $u_1 \geqslant \sqrt{a}$, quelle que soit la valeur de $u_0 > 0$.
\item Montrer que pour tout réel $x \geqslant \sqrt{a}$, $f(x) \leqslant x$.
\item Montrer alors par récurrence que pour tout entier naturel $n\geqslant1$, $\sqrt{a} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.
\item Déduire que \suite{u}{n}{} converge. On note $\ell$ sa limite.
\item On admet que $\ell=f(\ell)$. Déterminer alors la limite de \suite{u}{n}.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item La fonction Python complétée est la suivante:
\begin{python}
def heron(a,u,n):
    if u <=0:
        return "Le premier terme doit être strictement positif."
    elif a <= 0:
        return "La valeur de 'a' doit être strictement positive."
    else:
        L = [ u ]
        k = 0
        while k < n:
            u = 0.5 * (u + a / u)
            L.append(u)
            k = k + 1
        return L
\end{python}

\item On peut constater:
\begin{itemize}
\item d'une part que la suite \suite{u(4)}{n}{} semble être décroissante;
\item d'autre part, que la suite \suite{u(4)}{n}{} semble converger vers 2.
\end{itemize}

\item\label{heronq3} On a : $f'(x)=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{a}{x^2}\right)=\dfrac{x^2-a}{2x^2}$.

$x^2-a$ est un polynôme du second degré dont les racines sont $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$, d'où le tableau page suivante.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep=0pt,outer sep=0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]{$x$/0.8,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{0,$\sqrt{a}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,-,z,+}
\tkzTabVar{D+/,-/{$\sqrt{a}$},+/}
\end{tikzpicture}
};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item D'après les variations de $f$, si $x\in\intervFO{0}{\sqrt{a}}$ alors $f(x)\geqslant\sqrt{a}$.

Or, $u_1=f(u_0)$ donc si $u0\in\intervOF{0}{\sqrt{a}}$ alors $u_1\geqslant\sqrt{a}$.

De plus, si $u_0\geqslant\sqrt{a}$, d'après les variations de $f$, $f(u_0)\geqslant\sqrt{a}$.

\uline{Ainsi, quelle que soit la valeur de $u_0>0$, $u_1\geqslant\sqrt{a}$.}


\item Montrer que pour tout réel $x\geqslant\sqrt{a}$, $f(x)\leqslant x$.

Considérons alors la fonction $g(x)=f(x)-x$:
\[
g(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{x}-x\right).
\]
Sa dérivée est alors:
\[
g'(x)=\dfrac{1}{2}\left(-\frac{a}{x^2}-1\right)
\]
donc $g'(x)<0$ sur \intervFO{\sqrt{a}}{+\infty}, ce qui signifie que $g$ est strictement décroissante sur \intervFO{\sqrt{a}}{+\infty}.

De plus, $g(\sqrt{a})=0$ donc $g(x)\leqslant $ sur \intervFO{\sqrt{a}}{+\infty}. On a alors $f(x)-x \leqslant 0$, soit $f(x) \leqslant x$.

\item Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $n\geqslant1$, $\sqrt{a} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.

\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation.} 

$u_1>\sqrt{a}$ et $u_2=f(u_1) \leqslant u_1$ d'après la question précédente. 

On a donc bien $\sqrt{a} \leqslant u_2 \leqslant u_1$.

L'initialisation est alors réalisée.


\item \textit{Hérédité.}

Supposons que pour un entier $k>1$ , $\sqrt{a} \leqslant u_{k+1} \leqslant u_k$.

D'après la question \ref{heronq3}, $f$ est strictement croissante sur $\intervOO{\sqrt{a}}{+\infty}$ donc :
\[
f(\sqrt{a}) \leqslant f(u_{k+1}) \leqslant f(u_k)
\]
soit:
\[
\sqrt{a} \leqslant u_{k+2} \leqslant u_{k+1}.
\]
L'hérédité est alors vérifiée.
\end{itemize}

\uline{Ainsi, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n\geqslant1$, $\sqrt{a} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.}


\item La suite \suite{u}{n}{} est, d'après la question précédente, décroissante et minorée. Donc d'après le théorème de convergence des suites monotones, elle converge.

\item On admet que $\ell = f(\ell)$, soit $f(\ell)-\ell=0$. Donc: \begin{align*}
g(\ell)=0 & \iff \dfrac{a}{\ell}-\ell=0\\
& \iff a-\ell^2=0\\
& \iff \ell = -\sqrt{a}\text{ ou }\ell=\sqrt{a}.
\end{align*}
Or, $\ell>0$ car $u_n>0$. Donc $\ell=\sqrt{a}$.

\uline{Ainsi, la limite de \suite{u}{n}{} est égale $ \sqrt{a}$.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{suites imbriquées}[3]
On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : 
\[
\begin{cases}
u_0	= v_0 = 1\\
u_{n+1}	=  u_n +v_n\\
v_{n+1}	=  2u_n + v_n
\end{cases}
\]

Dans toute la suite de l'exercice, on \textbf{admet} que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ \textbf{sont strictement positives}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculez $u_1$ et $v_1$.
\item Démontrer que la suite \suite{v}{n}{} est strictement croissante, puis en déduire que, pour tout entier naturel $n$, $v_n \geqslant 1$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \geqslant  n + 1$.
\item En déduire la limite de la suite \suite{u}{n}{}.
\end{enumerate}

\item On pose, pour tout entier naturel $n$ :
\[
r_n = \dfrac{v_n}{u_n}.
\]

On admet que:

\[r_n^2 = 2 + \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2}\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ :

\[- \dfrac{1}{u_n^2} \leqslant \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2} \leqslant \dfrac{1}{u_n^2}.\]
		\item En déduire :

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2}.\]

		\item Déterminer la limite de la suite $\left(r_n^2\right)$ et en déduire que $\left(r_n\right)$ converge vers $\sqrt{2}$.
		\item  Démontrer que pour tout entier naturel $n$,

\[r_{n+1} = \dfrac{2 + r_n}{1 + r_n}.\]

		\item On considère le programme suivant écrit en langage Python :
\begin{python}
def seuil():
    n = 0
    r = 1
    while abs( r - sqrt(2) ) > 10**(-4):
        r = (2 + r) / (1 + r)
        n = n + 1
    return n
\end{python}


(\og \texttt{abs} \fg{} désigne la valeur absolue, \texttt{sqrt} la racine carrée et \texttt{10**(-4)} représente $10^{-4}$).

La valeur de $n$ renvoyée par ce programme est 5.

À quoi correspond-elle ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $u_1 = u_0 + v_0 = 1+1=2$.

$v_1=2u_0+v_0 = 2\times1 + 1 = 3$.

\item Pour tout entier naturel$n$, 
\begin{align*}
v_{n+1} - v_n & = 2u_n+v_n-v_n\\
& = u_n\\
& > 0\text{ par hypothèses de départ.}
\end{align*}
\uline{Ainsi, $v_{n+1}>v_n$ pour tout entier $n$; la suite \suite{v}{n}{} est donc strictement croissante.}

\medskip

Or, $v_0=1$ donc pour tout entier naturel $n$, $v_n\geqslant1$.


\item 
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation.} 

$u_0=1 \geqslant 0+1$. L'inégalité est donc vraie pour $n=0$.

\newpage

\item \textit{Hérédité.} 

Supposons que pour un entier $k$ fixé, $u_k \geqslant k+1$ (HR).
\begin{align*}
u_{k+1} & = u_k + v_k\\
& \geqslant (k+1) + 1\text{ par (HR) et car }v_n\geqslant1.
\end{align*}
L'hérédité est alors démontrée.
\end{itemize}

\uline{Ainsi, quel que soit l'entier naturel $n$, $u_n \geqslant n+1$.}

\item $u_n \geqslant n+1$ et $\limite{n}{+\infty}{n+1}=+\infty$ donc, par comparaison, \underline{$\limite{n}{+\infty}{u_n}=+\infty$}.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On sait que pour tout entier naturel $n$,
\[
-1 \leqslant (-1)^{n+1} \leqslant 1
\]
donc, en divisant par $u_n^2>0$:
\[
\boxed{-\dfrac{1}{u_n^2} \leqslant \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2} \leqslant \dfrac{1}{u_n^2}}
\]

\item $\limite{n}{+\infty}u_n=+\infty$ donc $\limite{n}{+\infty}u_n^2=+\infty$. Ainsi,
\[
\limite{n}{+\infty}\dfrac{1}{u_n^2}=\limite{n}{+\infty}\left(-\dfrac{1}{u_n^2}\right)=0.
\]
D'après le théorème des gendarmes (théorème d'encadrement), on en déduit:
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}=0}
\]

\item D'après la question précédente, par somme,
\[
\limite{n}{+\infty}r_n^2 = 2 + 0
\]
donc:
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}r_n=\sqrt2}
\]

\item Pour tout entier naturel $n$, on a d'une part:
\[
r_{n+1}=\dfrac{v_{n+1}}{u_{n+1}}=\dfrac{2u_n+v_n}{u_n+v_n}
\]
et d'autre part, 
\begin{align*}
\dfrac{2+r_n}{1+r_n} & = \dfrac{2+\frac{v_n}{u_n}}{1+\frac{v_n}{u_n}}\\
& = \dfrac{\frac{2u_n+v_n}{u_n}}{\frac{u_n+v_n}{u_n}}\\
& = \dfrac{2u_n+v_n}{u_n+v_n}.
\end{align*}

Donc:
\[
\boxed{r_{n+1}=\dfrac{2+r_n}{1+r_n}}
\]

\item La valeur de $n$ renvoyée par le programme correspond à la première valeur de $n$ pour laquelle $|r-\sqrt2|\leqslant10^{-4}$.

\uline{Cela signifie que $r_5$ est une valeur approchée de $\sqrt2$ à $10^{-4}$ près.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{exercice de recherche}[3]
On considère la suite \suite{u}{n}{} définie par :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0\in\R\\
u_{n+1}=\lambda u_n+\text{P}(n)\quad,\qquad \forall n\in\N
\end{array}
\right.
\]

où P est un polyn\^ome et où $\lambda\in\R*\setminus\{1\}$.

On pose alors la suite \suite{v}{n}{} définie par :
\[
v_n=u_n+\text{Q}(n),
\]

où Q est un polyn\^ome.

\begin{enumerate}
\item Montrer l'équivalence suivante :
\[
\suite{v}{n}{} \text{ est une suite géométrique} \Leftrightarrow \forall n\in\N,\ \text{P}(n)=\lambda\text{Q}(n)-\text{Q}(n+1).
\]


On suppose maintenant que $\text{P}(n)=an+b$, $a$ et $b$ étant deux réels non nuls.

\medskip

\item Trouver, en fonction de $\lambda$, $a$ et $b$, l'expression du polyn\^ome Q.

\item En déduire, en fonction de $\lambda$, $u_0$, $a$, $b$ et $n$, une expression de $v_n$, puis de $u_n$.

\item Application : déterminer l'expression du terme général de la suite \suite{u}{n}{} définie par son premier terme $u_0=5$ et par la relation $u_{n+1}=2u_n-3n+7$.\\
Vérifier la formule trouvée pour les premiers termes de \suite{u}{n}{}.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = u_{n+1}+\text{Q}(n+1)\\
& = \lambda u_n + \text{P}(n) + \text{Q}(n+1)\\
& = \lambda\left(u_n+\dfrac{1}{\lambda}\text{P}(n)+\dfrac{1}{\lambda}\text{Q}(n+1)\right).
\end{aligned}$

Ainsi, $\begin{aligned}[t]
\suite{v}{n}{}\text{ est une suite géométrique}&  \iff u_n+\dfrac{1}{\lambda}\text{P}(n)+\dfrac{1}{\lambda}\text{Q}(n+1)=v_n\\
& \iff \dfrac{1}{\lambda}\text{P}(n)+\dfrac{1}{\lambda}\text{Q}(n+1)=\text{Q}(n)\\
& \iff \text{P}(n)=\lambda\text{Q}(n)-\text{Q}(n+1).
\end{aligned}$

\item Posons $\text{Q}(n)=\alpha n+\beta$.\\
D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
& \text{P}(n)=\lambda\text{Q}(n)-\text{Q}(n+1)\\
\iff\ & an+b = \lambda\alpha n+\lambda\beta -\alpha n -\alpha-\beta\\
\iff\ & (a+\alpha-\lambda\alpha)n+b+\alpha+\beta-\lambda\beta=0\\
\iff\ & \left\lbrace\begin{array}{l}
a+\alpha(1-\lambda)=0\\
b+\alpha+\beta(1-\lambda)=0
\end{array} \right.
\end{align*}
De la 1\iere{} équation, on déduit :
\[
\alpha=\dfrac{a}{\lambda-1}
\]
et de la 2\ieme{} équation, on tire :
\[
\beta=\dfrac{1}{\lambda-1}\left(b+\dfrac{a}{\lambda-1} \right).
\]
Ainsi,
\[
\text{Q}(n)=\dfrac{a}{\lambda-1}n+\dfrac{b}{\lambda-1}+\dfrac{a}{(\lambda-1)^2}.
\]

\item Nous savons que \suite{v}{n}{} est une suite géométrique de raison $\lambda$. Ainsi, $v_n=v_0\lambda^n$ pour tout entier naturel $n$.\\
Or, $v_0=u_0+Q(0)=u_0+\dfrac{b}{\lambda-1}+\dfrac{a}{(\lambda-1)^2}$, donc :
\[
\forall n\in\N,\ v_n=\left(u_0+\dfrac{b}{\lambda-1}+\dfrac{a}{(\lambda-1)^2}\right)\lambda^n.
\]
De plus, $v_n=u_n+\text{Q}(n)$, donc $u_n=v_n-\text{Q}(n)$. Ainsi,
\[
\forall n\in\N,\ u_n=\left(u_0+\dfrac{b}{\lambda-1}+\dfrac{a}{(\lambda-1)^2}\right)\lambda^n-\dfrac{a}{\lambda-1}n-\dfrac{b}{\lambda-1}-\dfrac{a}{(\lambda-1)^2}.
\]

\item Application : $u_{n+1}=2u_n-3n+7$ donc $\lambda=2$, $a=-3$ et $b=7$. D'après la question précédente, on a :
\[
\forall n\in\N,\ u_n=\left(5+\dfrac{7}{2-1}+\dfrac{-3}{(2-1)^2}\right)\times2^n-\dfrac{-3}{2-1}n-\dfrac{7}{2-1}-\dfrac{-3}{(2-1)^2}
\]
soit :
\[
\forall n\in\N,\ u_n=9\times2^n+3n-4.
\]
Vérifions sur les premiers termes :

\medskip

\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = pagecorrige!20] (tab) {
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!30}}Sc|*2{>{\centering\arraybackslash}Sc|}}
\hline\rowcolor{numpagecorrige!30}
$n$ & Avec la formule de récurrence & Avec la formule trouvée\\
\hline
0 & $u_0=5$ par définition & $u_0=9\times2^0+3\times0-4=9-4=5$\\
\hline
1 & $u_1=2u_0-3\times0+7=10+7=17$ & $u_1=9\times2^1+3\times1-4=18+3-4=17$\\
\hline
2 & $u_2=2u_1-3\times1+7=34-3+7=38$ & $u_2=9\times2^2+3\times2-4=36+6-4=38$\\
\hline
\end{tabular}
};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{l'escargot de Gardner}[3]
Léo l'escargot avance à la vitesse de 1 m/h sur un élastique de 100 mètres qui peut s'allonger à l'infini.

Au début de chaque heure, on allonge l'élastique de 100 mètres de façon homogène, ce qui signifie qu'au début de la 1\iere{} heure écoulée, l'escargot se trouvait à 1 mètre du point de départ avant l'allongement de l'élastique et se retrouve à 2 mètres du point de départ après car pour passer de 100 m à 200 m, on a multiplié par 2.

Au bout de la 2\ieme{} heure, Léo avance de 1 mètre et après allongement, il se trouve à 4,50 mètres.

On note $u_n$ la distance (en mètre) parcourue par Léo au bout de $n$ heures avant l'allongement de l'élastique. Ainsi, $u_0=0$, $u_1=1$ et $u_2=3$.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Expliquer la valeur de $u_2$.
\item Calculer $u_3$.
\end{enumerate}

\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)u_n+1$.

\item On note $p_n$ le pourcentage représentant l'avancement de Léo par rapport à la longueur de l'élastique (avant allongement) à l'étape $n$. Ainsi, $p_1=1$ et $p_2=1,5$.

Montrer que $p_3=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$.

\item Montrer par récurrence que $p_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}$ pour tout entier naturel $n$ non nul.

\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $p_{2^n}\geqslant1+\dfrac{n}{2}$.

\item En déduire la limite de la suite \suite{p}{n}{}.

Que peut-on alors conclure quant à Léo ? N'y a-t-il pas alors un paradoxe ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Pour calculer $u_2$, on prend en compte que l'allongement est homogène ; ainsi, quand Léo est à 1 mètre du point de départ, quand on tire l'élastique pour faire passer sa longueur de 100 mètres à 200 mètres, on la multiplie par 2 donc on doit faire de même pour la longueur qui sépare Léo du point de départ. 

Par conséquent, après l'allongement, Léo se trouve à $1\times2=2$ mètres du point de départ. Il suffit ensuite d'ajouter 1 mètre et on obtient $\uline{u_2=3}$.

\item Sur ce même principe, on calcule $u_3$ : quand on allonge l'élastique de sorte à ce que sa longueur passe de 200 mètres à 300 mètres, on la multiplie par $\dfrac{300}{200}=1,5$. Pour obtenir la valeur de $u_3$, on multiplie donc $u_2$ par 1,5 puis on ajoute 1 :
\[ 
\uline{u_3=}1,5u_2+1=1,5\times3+1=\uline{5,5}.
\]
\end{enumerate}


\item Selon le même principe que précédemment, pour calculer $u_{n+1}$ connaissant $u_n$, il faut trouver le \og coefficient d'allongement \fg. Notons $\ell_n$ la longueur de l'élastique, en mètre, à l'étape $n$ (avant l'allongement).

Ainsi, $\ell_1=100$, $\ell_2=200$ et par extension, $\ell_n=100n$.

\medskip

Le \og coefficient d'allongement \fg{} est donc $k_n=\dfrac{100(n+1)}{100n}=1+\dfrac{1}{n}$.

Ainsi,
\[ u_{n+1}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)u_n+1.\]

\item $u_3=5,5$ et $\ell_3=300$ donc $p_3=\dfrac{u_3}{\ell_3}\times100=\dfrac{11}{6}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$.

\item Montrons par récurrence la formule proposée.
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation}.

Nous l'avons montré pour $n=1$, $n=2$ et $n=3$.

\medskip

\item \textit{Hérédité}.

Supposons que pour un entier $n>0$, $p_n=1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}$.

Quand on allonge l'élastique de 100 mètres, le pourcentage ne change pas car l'allongement est homogène (conserve les proportions). En ajoutant 1 mètre, proportionnellement à la longueur $\ell_{n+1}$, on a ajouté $\dfrac{1}{n+1}$\;\%.

Ainsi, $p_{n+1}=p_n+\dfrac{1}{n+1}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}$.

L'hérédité est alors vérifiée. La formule est donc vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
\end{itemize}

\item Faisons un raisonnement par récurrence encore une fois.
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation.}

Pour mieux comprendre, nous n'allons pas vérifier uniquement pour le premier rang, mais pour plusieurs.
\begin{itemize}
\item $p_{2^0}=p_1=1\geqslant1+\dfrac{0}{2}$ ;
\item $p_{2^1}=p_2=1+\dfrac{1}{2}\geqslant1+\dfrac{1}{2}$ ;
\item $p_{2^2}=p_4=1+\dfrac{1}{2}+\underbrace{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}}_{\geqslant\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}}\geqslant1+2\times\dfrac{1}{2}$ ;
\item $p_{2^3}=p_8=p_4+\underbrace{\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}}_{\geqslant4\times\frac{1}{8}=\frac{1}{2}}\geqslant1+2\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1+3\times\dfrac{1}{2}$.
\end{itemize}
L'inégalité est alors vraie pour $n=0$, jusqu'à $n=3$.

\item \textit{Hérédité}.

On suppose que $p_{2^{n-1}}\geqslant1+(n-1)\times\dfrac{1}{2}$. 

\[
p_{2^n}=p_{2^{n-1}}+\dfrac{1}{2^{n-1}+1}+\underbrace{\dfrac{1}{2^{n-1}+2}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}}_{=s_n}.
\]

Or, $\dfrac{1}{2^k+p}\geqslant\dfrac{1}{2^{k+1}}$ pour tout entier $k$ et pour tout entier $p$ tel que $1\leqslant p\leqslant k+1$.

Ainsi, dans la mesure où il y a $2^{(n-1)}$ termes dans $s_n$, \[
s_n\geqslant 2^{(n-1)}\times\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{1}{2}.
\]

Par conséquent,
\[
p_{2^n}\geqslant1+(n-1)\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2},
\] soit \[ p_{2^n}\geqslant1+n\times\dfrac{1}{2}. \]

L'hérédité est vérifiée donc la formule est vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}

\item $\limite{n}{+\infty}{\left(1+\dfrac{1}{2}n\right)}=+\infty$ donc d'après le théorème de comparaison des suites,\linebreak $\limite{n}{+\infty}{p_{2^n}}=+\infty$. 

En posant $N=2^n$, comme $\limite{n}{+\infty}{N}=+\infty$, on peut écrire $\limite{N}{+\infty}{p_N}=+\infty$.

Cela sous-entend donc que le pourcentage de chemin fait par Léo sur l'élastique dépassera 100, ce qui signifie qu'il arrivera au bout de l'élastique.

Cela peut alors surprendre car le procédé ne permet a priori pas de l'envisager. C'est ce que l'on appelle un paradoxe qui peut s'expliquer de la façon suivante : pour $n$ assez grand, on démontre (pas nous ! mais les grands mathématiciens...) que $p_n\approx\ln n$ (à une constante près, que l'on appelle la constante d'Euler, et que l'on note $\gamma$) donc si on cherche $n$ tel que $p_n\geqslant100$, on cherche $n$ pour que $\ln n\geqslant100$, soit $n\geqslant\e^{100}$. Or, $\e^{100}\approx2,7\times10^{43}$. Alors, même si Léo faisait 1 mètre par seconde, il faudra à peu près $2,7\times10^{43}$ secondes pour qu'il atteigne le bout de l'élastique, ce qui correspond à $8,56\times10^{35}$ années... Autant dire jamais !
\end{enumerate}
\end{exocor}



\corriges

