\chapter{Fonctions trigonométriques}

\newpage

\section{Fonctions sinus et cosinus}

\subsection{Parité}

\begin{defin}
\begin{itemize}
\item On dit qu'une fonction est \textbf{paire} si son domaine de définition $\mathcal{D}$ est centré en 0 et si, pour tout $x$ dans $\cal D$, $f(-x)=f(x)$.

\item On dit qu'une fonction est \textbf{impaire} si son domaine de définition $\mathcal{D}$ est centré en 0 et si, pour tout $x$ dans $\cal D$, $f(-x)=-f(x)$.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item La fonction $x\mapsto\cos x$ est paire.
\item La fonction $x\mapsto\sin x$ est impaire.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{demo}
\begin{itemize}
\item Fonction $x\mapsto\cos x$.

Son domaine de définition est \R, donc centré en 0.

De plus, nous avons :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) -- (1.5,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) -- (0,1.2);
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
\draw[dashed] (50:1)--(-50:1);
\fill[red] (50:1) circle (0.6pt) node[above right] {$M(x)$};
\fill[red] (-50:1) circle (0.6pt) node[below right] {$M'(-x)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ainsi, $\cos(-x) = \cos(x)$. La fonction $x\mapsto\cos x$ est donc paire.

\item Fonction $x\mapsto\sin x$.

Son domaine de définition est \R, donc centré en 0.

De plus, nous avons :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) -- (1.5,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) -- (0,1.2);
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
\draw[dashed] (50:1)--(0,{sin(50)}) node[left] {$\sin x$};
\draw[dashed] (-50:1)--(0,{sin(-50)}) node[left] {$\sin(-x)$};
\fill[red] (50:1) circle (0.6pt) node[above right] {$M(x)$};
\fill[red] (-50:1) circle (0.6pt) node[below right] {$M'(-x)$};
\draw[thick,cyan] (0,0)--(0,{sin(50)}) node[midway,rotate=90] {//};
\draw[thick,cyan] (0,0)--(0,{sin(-50)}) node[midway,rotate=90] {//};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ainsi, $\sin(-x) = -\sin(x)$ (car $M$ et $M'$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses).
\end{itemize}
\end{demo}

\subsection{Périodicité}

\begin{defin}
On dit qu'une fonction $f$ est \textbf{$\pmb{T}$-périodique} si son domaine de définition $\cal D$ est centré en 0 et si, pour tout réel de $\cal D$,
\[
f(x+T)=f(x).
\]
\end{defin}


\begin{prop}
Les fonctions $x\mapsto\cos x$ et $x\mapsto\sin x$ sont $2\pi$-périodiques.
\end{prop}

\begin{demo}
La longueur du cercle trigonométrique est égale à $2\pi$. Ainsi, les nombres $x$ et $x+2\pi$ auront la même image sur le cercle trigonométrique, ce qui signifie que :
\[
\cos(x)=\cos(x+2\pi)\qquad\text{et}\qquad\sin(x)=\sin(x+2\pi).
\]
De plus, les deux fonctions sont définies sur \R (qui est centré en 0).

Donc $x\mapsto\cos x$ et $x\mapsto\sin x$ sont $2\pi$-périodiques.
\end{demo}

\begin{rem}
On peut aussi dire que les fonctions sont périodiques de période $2\pi$.
\end{rem}

\subsection{Courbes représentatives}

\begin{itemize}
\item Le fait de dire que les fonctions $x\mapsto\cos x$ et $x\mapsto\sin x$ sont $2\pi$-périodiques signifie que si on prend n'importe quel intervalle d'amplitude $2\pi$, le motif de la courbe représentative trouvé sur cet intervalle pourra se répéter. 

On peut alors tracer les courbes représentatives sur l'intervalle \intervFF{-\pi}{\pi}, et déduire la totalité des courbes par translations de vecteurs $\vv{u}\dbinom{2k\pi}{0}$, $k\in\Z*$.

\item Le fait de dire que $x\mapsto\cos x$ est paire signifie que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (car $f(-x)=f(x)$).

De plus, le fait de dire que $x\mapsto\sin x$ est impaire signifie que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère (car $f(-x)=-f(x)$).

\medskip

On peut alors tracer les courbes représentatives sur l'intervalle \intervFF{0}{\pi}, et déduire les courbes par symétries (axiale ou centrale).
\end{itemize}

Au final, les courbes représentatives sont les suivantes:
\enlargethispage*{\baselineskip}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,yscale=0.7]
\draw[->,thick] (-7,0) -- (7,0);
\draw[->,thick] (0,-2) -- (0,2);
\draw[orange] plot[domain=-7:7,samples=100] (\x,{1.5*cos(180*\x/3.14159)});
\draw[red!50!black,very thick] plot[domain=-3.14:3.14,samples=100] (\x,{1.5*cos(180*\x/3.14159)});
\draw[cyan] plot[domain=-7:7,samples=100] (\x,{1.5*sin(180*\x/3.14159)});
\draw[blue!50!black,very thick] plot[domain=-3.14:3.14,samples=100] (\x,{1.5*sin(180*\x/3.14159)});
\draw[thick,orange] (-7,2.5) -- (-6,2.5) node[right] {$\cos x$};
\draw[thick,cyan] (-7,2) -- (-6,2) node[right] {$\sin x$};
\node[below right] at (0,0) {0};
\node[below left] at ({3.14159/2},0) {$\frac{\pi}{2}$};
\node[below left] at ({3.14159},0) {$\pi$};
\node[below right] at ({3*3.14159/2},0) {$\frac{3\pi}{2}$};
\node[below right] at ({2*3.14159},0) {$2\pi$};
%
\node[below right] at ({-3.14159/2},0) {$-\frac{\pi}{2}$};
\node[below right] at ({-3.14159},0) {$-\pi$};
\node[below left] at ({-3*3.14159/2},0) {$-\frac{3\pi}{2}$};
\node[below left] at ({-2*3.14159},0) {$-2\pi$};
%
\draw[dashed] (-3.14,-2) -- (-3.14,2);
\draw[dashed] (3.14,-2) -- (3.14,2);
%
\node[right,yscale=1.3] (n) at (3.4,1.8) {Motifs répétés par translations};
\draw[<-,cyan] (0.3,{1.5*sin(180*0.3/3.14159)}) -- (n.west);
\draw[<-,orange] (0.3,{1.5*cos(180*0.3/3.14159)}) -- (n.west);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Dérivées}

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item La dérivée de la fonction $x\mapsto\cos x$ est la fonction $x\mapsto-\sin x$.
\item La dérivée de la fonction $x\mapsto\sin x$ est la fonction $x\mapsto\cos x$.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{rem}
Un moyen mnémotechnique pour se souvenir de cette formule est de dire que dériver revient à tourner de $90^\circ$ dans le sens des aiguilles d'une montre :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) node[below left] {$-\cos$} -- (1.5,0) node[below] {$\cos$};
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) node[right] {$-\sin$} -- (0,1.2) node[right] {$\sin$};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
\draw[->,>=latex] (60:1.5) arc(60:30:1.5);
\draw[->,>=latex] (-30:1.5) arc(-30:-60:1.5);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{rem}

\section{\'Equations et inéquations}


\subsection{\'Equations du type cos(x) = a}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) node[below left] {$-\cos$} -- (1.5,0) node[below] {$\cos$};
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) node[right] {$-\sin$} -- (0,1.2) node[right] {$\sin$};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
\draw[thick,red,dashed] ({sqrt(3)/2},-1) node[below] {$a$} -- ({sqrt(3)/2},1);
\draw[orange] (0,0) -- (30:1);
\fill[orange] (30:1) circle(1pt) node[right] {$M_1$};
\draw[purple] (0,0) -- (-30:1) node[right] {$M_2$};
\fill[purple] (-30:1) circle(1pt);
\draw[orange,->,>=latex] (0.3,0) arc (0:30:0.3);
\draw[purple,->,>=latex] (0.5,0) arc (0:-30:0.5);
\node[orange,right] at (15:0.3) {$x_1$};
\node[purple,right] at (-15:0.5) {$-x_1$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

L'équation $\cos x = a$, où $-1 \leqslant a \leqslant 1$, admet au maximum deux solutions sur \intervOF{-\pi}{\pi} : $x_1$ et $-x_1$ (représentés ci-dessus sur le schéma).



Dans le cas où $a$ est une valeur remarquable (0, $\pm\dfrac{1}{2}$, $\pm\dfrac{\sqrt3}{2}$ ou $\pm1$), l'équation peut être résolue facilement.

\begin{exemple}
$\cos x = \dfrac{\sqrt3}{2} \iff x=\dfrac{\pi}{6}\text{ ou }x=-\dfrac{\pi}{6}$.
\end{exemple}

Si $a$ n'est pas une valeur remarquable, on ne peut résoudre l'équation qu'en donnant des valeurs approchées, sauf dans certains cas où l'énoncé nous guide pour trouver des valeurs exactes.

\begin{exemple}
On souhaite résoudre l'équation $\cos x = 0,3$ sur \intervOF{-\pi}{\pi}.

On peut utiliser:
\begin{itemize}
\item \textit{la calculatrice} : on entre la fonction $f(x)=\cos x - 0,3$, on trace la courbe puis on\linebreak demande les racines (\og ROOT \fg) [ on adapte en fonction du type de la calculatrice].
\begin{center}
\includegraphics{trigo-fig01}
\quad
\includegraphics{trigo-fig02}
\quad
\includegraphics{trigo-fig03}
\quad
\includegraphics{trigo-fig04}
\end{center}
\item \textit{le logiciel Xcas} : 
\begin{center}
\includegraphics[scale=2]{trigo-fig05}
\end{center}
\item \textit{Python} :

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{python}
from math import cos,pi
from scipy.optimize import bisect

f = lambda x : cos(x) - 0.3
a = bisect(f,-pi,0)

print(a)
\end{python}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
On sait (par lecture graphique) qu'il y a 2 solutions opposées, donc trouver la solution négative (par exemple) suffit. On utilise alors la fonction \texttt{bisect(fonction, x0 , x1} du module \texttt{scipy.optimize}, où \texttt{x0} et \texttt{x1} sont les bornes de l'intervalle dans lequel se trouve la solution de l'équation\linebreak $f(x)=0$.
\end{minipage}
\end{itemize}
\end{exemple}

\subsection{Inéquations du type cos(x) $\leqslant$ a}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) node[below left] {$-\cos$} -- (1.5,0) node[below] {$\cos$};
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) node[right] {$-\sin$} -- (0,1.2) node[right] {$\sin$};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
\draw[thick,red,dashed] ({sqrt(3)/2},-1) node[below] {$a$} -- ({sqrt(3)/2},1);
\draw[gray] (0,0) -- (30:1);
\fill[gray] (30:1) circle(1pt) node[right] {$M_1$};
\draw[gray] (0,0) -- (-30:1) node[right] {$M_2$};
\fill[gray] (-30:1) circle(1pt);
\draw[gray,->,>=latex] (0.3,0) arc (0:30:0.3);
\draw[gray,->,>=latex] (0.5,0) arc (0:-30:0.5);
\node[gray,right] at (15:0.3) {$x_1$};
\node[gray,right] at (-15:0.5) {$-x_1$};
\draw[very thick,green!50!black,->,>=latex] (-1,0) arc(-180:-30:1);
\draw[very thick,orange,->,>=latex] (30:1) arc(30:180:1);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Si $x_1$ et $-x_1$ sont les solutions de l'équation $\cos x = a$ sur \intervOF{-\pi}{\pi} alors l'inéquation $\cos x \leqslant a$ a pour ensemble solution:
\[
\intervOF{-\pi}{-x_1}\cup\intervFF{x_1}{\pi}.
\]

\begin{exemple}
$\cos x \leqslant \dfrac{\sqrt3}{2} \iff x \in \intervOF{-\pi}{-\dfrac{\pi}{6}} \cup \intervFF{\dfrac{\pi}{6}}{\pi}$.
\end{exemple}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exercices

\subsection*{\'Equations et inéquations trigonométriques}

%%%

\begin{exocor}{équations trigonométriques}[1]
Résoudre sur \intervFO{0}{2\pi} les équations suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\cos x=\dfrac{1}{2}$
\item $\sin x=\dfrac{1}{2}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\vspace*{-1em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\cos x=\dfrac{1}{2} & \Longleftrightarrow \cos x=\cos \dfrac{\pi}{3}\\
& \Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}\text{ ou } x=-\dfrac{\pi}{3}\quad\text{ sur }\intervFO{0}{2\pi}.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\sin x=\dfrac{1}{2} & \Longleftrightarrow \sin x=\sin \dfrac{\pi}{6}\\
& \Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}\text{ ou }x=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}\quad\text{ sur }\intervFO{0}{2\pi}.
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{équations trigonométriques}[1]
Résoudre les équations suivantes sur $]-\pi;\pi]$:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\cos(x)=-\dfrac{\sqrt3}{2}$
\item $\sin(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}$
%\item $\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$
%\item $\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)\geqslant\dfrac{1}{2}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\vspace*{-1em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\cos(x)=-\dfrac{\sqrt3}{2} & \iff \cos(x)=-\cos\dfrac{\pi}{6}\\
& \iff \cos(x) = \cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)\\
& \iff \cos(x) = \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\\
& \iff x = \dfrac{5\pi}{6} \text{ ou }x=-\dfrac{5\pi}{6} \quad \text{sur }]-\pi;\pi].
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\sin(x)=\dfrac{\sqrt2}{2} & \iff \sin(x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\
& \iff x = \dfrac{\pi}{4}\text{ ou }x = \dfrac{3\pi}{4}\quad\text{sur }]-\pi;\pi].
\end{aligned}$

%\item $\begin{aligned}[t]
%\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} & \iff \cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\\
%& \iff 2x+\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}+2k\pi\text{ ou }2x+\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\Z\\
%& \iff 2x=0+2k\pi\text{ ou }2x=-\dfrac{2\pi}{2}+2k\pi,\ k\in\Z\\
%& \iff x = k\pi\text{ ou }x = -\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\ k\in\Z.
%\end{aligned}$
%
%Ainsi, sur $]-\pi;\pi]$, les solutions sont (en prenant $k=0$ et $k=1)$ : 0, $\pi$, $-\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$.

%\item Pour résoudre l'inéquation $\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)\geqslant\dfrac{1}{2}$, on peut poser $X=3x-\dfrac{\pi}{6}$ dans un premier temps.
%\[
%\sin X \geqslant \dfrac{1}{2} \iff \sin X \geqslant \sin \dfrac{\pi}{6} \iff  \dfrac{\pi}{6} \leqslant X \leqslant \pi-\dfrac{\pi}{6}
%\]
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%\draw (0,0) circle (2cm);
%\draw[->,>=latex] (-2.2,0) -- (2.2,0);
%\draw[->,>=latex] (0,-2.2) -- (0,2.2);
%\draw[very thick,red] (30:2) arc(30:150:2);
%\draw[dashed] (0,0) -- (30:2)-- (150:2) -- cycle;
%\end{tikzpicture}
%\end{center}
%\begin{align*}
%\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)\geqslant\dfrac{1}{2} & \iff \dfrac{\pi}{6}+2k\pi \leqslant 3x-\dfrac{\pi}{6} \leqslant\pi-\dfrac{\pi}{6} +2k\pi,\ k\in\Z\\
%& \iff \dfrac{\pi}{3}+2k\pi \leqslant 3x \leqslant \pi+2k\pi,\ k\in\Z\\
%& \iff \dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3} \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{3} +\dfrac{2k\pi}{3},\ k\in\Z
%\end{align*}
%\begin{itemize}
%\item Pour $k=0$, on obtient : $\dfrac{\pi}{9} \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{3}$.
%\item Pour $k=-1$, on obtient : $-\dfrac{5\pi}{9} \leqslant x \leqslant -\dfrac{\pi}{3}$.
%\item Pour $k=1$, on obtient : $\dfrac{7\pi}{9} \leqslant x \leqslant \pi$.
%\end{itemize}
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%\draw (0,0) circle (2cm);
%\draw[->,>=latex] (-2.2,0) -- (2.2,0);
%\draw[->,>=latex] (0,-2.2) -- (0,2.2);
%\draw[very thick,red] (20:2) arc(20:60:2);
%\node[right,red] at (20:2) {$\frac{\pi}{9}$};
%\node[above right,red] at (60:2) {$\frac{\pi}{3}$};
%%
%\draw[very thick,red] (-100:2) arc(-100:-60:2);
%\node[below,red] at (-60:2) {$-\frac{\pi}{3}$};
%\node[below left,red] at (-100:2) {$-\frac{5\pi}{9}$};
%%
%\draw[very thick,red] (140:2) arc(140:180:2);
%\node[above,red] at (140:2) {$\frac{7\pi}{9}$};
%\node[above left,red] at (180:2) {$\pi$};
%\end{tikzpicture}
%\end{center}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{équation se ramenant au second degré}[2]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\sqrt{16+8\sqrt3}=2+2\sqrt3$.
\item Résoudre sur \intervFF{0}{2\pi} l'équation:
\[
4\cos^2(x)  + 2\big(\sqrt3-1\big)\cos(x) - \sqrt3 = 0.
\]
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\big(2+2\sqrt3\big)^2 & = 4 + 8\sqrt3 + 4\times3\\
& = 16+8\sqrt3.
\end{aligned}$

Comme $2+2\sqrt3 > 0$, 
\[
\big(2+2\sqrt3\big)^2 = 16+8\sqrt3 \iff 2+2\sqrt3 = \sqrt{16+8\sqrt3}.
\]

\item Pour résoudre sur \intervFF{0}{2\pi} l'équation:
\[
4\cos^2(x)  + 2\big(\sqrt3-1\big)\cos(x) - \sqrt3 = 0\,,
\]
on pose:
\[
X = \cos (x).
\]
Ainsi, l'équation est équivalente à :
\[
4X^2 + 2\big(\sqrt3-1\big)X - \sqrt3 = 0.
\]
C'est une équation du second degré, dont le discriminant vaut:
\begin{align*}
\Delta & = \Big[2\big(\sqrt3-1\big)\Big]^2 - 4 \times( - \sqrt3)\times4\\
       & = 4(3-2\sqrt3+1)+16\sqrt3\\
       & = 12-8\sqrt3+4+16\sqrt3\\
       & = 16+8\sqrt3\\
       & = \big(2+2\sqrt3\big)^2.
\end{align*}
Ainsi, il y a deux solutions distinctes à notre équation:
\begin{align*}
X_1 & = \dfrac{-2\big(\sqrt3-1\big)-\big(2+2\sqrt3\big)}{8} = \dfrac{-4\sqrt3}{8}=\dfrac{\sqrt3}{2}.\\
X_2& = \dfrac{-2\big(\sqrt3-1\big)+\big(2+2\sqrt3\big)}{8} = \dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}.
\end{align*}
Si on se ramène à présent à $x$, l'inconnue de départ, on a:
\[
\begin{cases}
\cos(x_1) = \dfrac{\sqrt3}{2}\\
\cos(x_2) = \dfrac{1}{2}
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
x_1 = \frac{\pi}{6}\text{ ou } x_1=\dfrac{11\pi}{6}\\
x_2 = \dfrac{\pi}{3}\text{ ou }x_2=\dfrac{5\pi}{3}.
\end{cases}
\]
L'ensemble solution de l'équation est alors:
\[
\boxed{\mathcal{S} = \left\{ \frac{\pi}{6}~;~\frac{\pi}{3}~;~\frac{5\pi}{3}~;~\frac{11\pi}{6} \right\}}
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{équation se ramenant au second degré}[3]
On considère l'équation d'inconnue $x$ suivante:
\[
81^{\sin^2(x)} + 81^{\cos^2(x)} = 30.\tag{E}
\]
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation:
\[
v^2 -30v + 81=0.
\]
\item En déduire les solutions de $(E)$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Le discriminant de $v^2 -30v + 81$ est:
\[
\Delta = (-30)^2 - 4 \times 1 \times 81 = 576 = 24^2.
\]
Donc l'équation $v^2 -30v + 81=0$ admet deux solutions:
\[
v_1 = \dfrac{30-24}{2}=3\qquad\text{et}\qquad v_2=27.
\]

\item En posant $v = 81^{\sin^2(x)}$, et en tenant compte du fait que pour tout réel $x$,\linebreak  $\cos^2(x) = 1-\sin^2(x)$,
\begin{align*}
(E) & \iff v + \frac{81}{v} = 30\\
    & \iff v^2 + 81 = 30v\\
    & \iff v^2 - 30v + 81 = 0\\
    & \iff v = 3\text{ ou } v=27\\
    & \iff \big(3^4\big)^{\sin^2(x)} = 3 \text{ ou } \big(3^4\big)^{\sin^2(x)} = 3^3\\
    & \iff 3^{4\sin^2(x)}=3^1 \text{ ou } 3^{4\sin^2(x)}=3^3
    \end{align*}
    
    \begin{align*}
    & \iff 4\sin^2(x) = 1 \text{ ou } 4\sin^2(x) = 3\\
    & \iff \sin^2(x) = \dfrac{1}{4} \text{ ou } \sin^2(x) = \dfrac{3}{4}\\
    & \iff \sin(x) = -\dfrac{\sqrt2}{2}\text{ ou }\sin(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}\text{ ou }\sin(x)=-\dfrac{\sqrt3}{2}\text{ ou }\sin(x)=\dfrac{\sqrt3}{2}.
\end{align*}
L'ensemble solution de l'équation $81^{\sin^2(x)} + 81^{\cos^2(x)} = 30$ est donc:
\[
\boxed{ \mathcal{S} = \left\{ -\dfrac{\sqrt2}{2}~;\dfrac{\sqrt2}{2}~~;~ -\dfrac{\sqrt3}{2} ~;~ \dfrac{\sqrt3}{2} \right\} }
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

\subsection*{Limites}

%%% NEW 2025

\begin{exocor}{avec le cosinus}[1]
Calculer les limites suivantes:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\limite{x}{0}{\dfrac{\cos(3x)-1}{3x}}$
\item $\limite{x}{0}{\dfrac{\cos(3x)-1}{x}}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

Nous allons nous appuyer sur le résultat du cours suivant:
$\limite{x}{0}{\dfrac{\cos x - 1}{x} = 0}$.
\begin{enumerate}
\item $\limite{x}{0}{\dfrac{\cos(3x)-1}{3x}} = \limite{y}{0}{\dfrac{\cos(y)-1}{y}} = 0$ (en ayant posé $y=3x$).

\item $\limite{x}{0}{\dfrac{\cos(3x)-1}{x}} = \limite{x}{0}{3\times\dfrac{\cos(3x)-1}{3x}}=3\times\limite{y}{0}{\dfrac{\cos(y)-1}{y}} = 0$ (en ayant posé $y=3x$).
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%% NEW 2025

\begin{exocor}{avec le sinus}[2]
Calculer les limites suivantes:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\limite{x}{0}{\dfrac{\sin(5x)}{5x}}$
\item $\limite{x}{0}{\dfrac{3x}{\sin(3x)}}$
\item $\limite{x}{0}{\dfrac{x}{\sin(7x)}}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

Pour cet exercice, nous allons nous appuyer sur le résultat du cours suivant: $\limite{x}{0}{\dfrac{\sin x}{x}=1}$.
\begin{enumerate}
\item En posant $y=5x$, on voit que $\limite{x}{0}{(y)}=0$, d'où:
\[
\limite{x}{0}{\dfrac{\sin(5x)}{5x}} = \limite{y}{0}{\dfrac{\sin(y)}{y}} = 1.
\]

\item D'après le même raisonnement que celui adopté à la question précédente, on peut écrire:
\[
\limite{x}{0}{\dfrac{\sin(3x)}{3x}} = 1.
\]
Par conséquent,
\[
\limite{x}{0}{\dfrac{3x}{\sin(3x)}} = 
\limite{x}{0}{\dfrac{1}{\frac{\sin(3x)}{3x}}} = \dfrac{1}{1}=1.
\]

\item  On a:
\[
\limite{x}{0}{\dfrac{x}{\sin(7x)}} = \limite{x}{0}{\dfrac{1}{7}\times\dfrac{7x}{\sin(7x)}} = \dfrac{1}{7}\limite{x}{0}{\dfrac{7x}{\sin(7x)}}.
\]
D'après un raisonnement analogue à celui de la réponse à la question précédente, on peut écrire:
\[\limite{x}{0}{\dfrac{7x}{\sin(7x)}}=1\]
donc:
\[
\limite{x}{0}{\dfrac{x}{\sin(7x)}}=\dfrac{1}{7}.
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}


\subsection*{Étude de fonctions}

%%%

\begin{exocor}{calcul trigonométrique}[1]
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par :
\[
f(x)=\big(\cos x + \sin x\big)^2 + \big(\cos x - \sin x\big)^2.
\]
Montrer que $f$ est une fonction constante.

\tcblower

Développons $f(x)$ :
\begin{align*}
f(x)&=\big(\cos x + \sin x\big)^2 + \big(\cos x - \sin x\big)^2\\
& = \cos^2x+\cancel{2\cos x\sin x}+\sin^2x + \cos^2x - \cancel{2\cos x\sin x} + \sin^2x\\
& = 2(\cos^2x+\sin^2x)\\
& = 2 \times 1\\
& = 2.
\end{align*}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{étude d'une fonction}[1]
On définit la fonction $f$ par :
\[
f(x)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}.
\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer le domaine de définition ${\cal D}_f$ de $f$.
\item Montrer que $f$ est périodique.
\item Déterminer $f'(x)$, puis en déduire le sens de variations de $f$ sur \intervOO{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{3\pi}{2}}.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(x)$ est défini quand $1+\sin x\neq0$.

Or, $1+\sin x=0 \iff \sin x=-1 \iff x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, $k\in\Z$.

\medskip

Ainsi, le domaine de définition de $f$ est $\boxed{{\cal D}_f=\R\setminus\left\{-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\ k\in\Z \right\}}$.


\item On sait que $\cos(x+2\pi)=\cos x$ et $\sin(x+2\pi)=\sin x$. Par conséquent, $f(x+2\pi)=f(x)$.

\underline{Ainsi, $f$ est $2\pi$-périodique.}


\item $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$, avec $u(x)=\cos x$ et $v(x)=1+\sin x$.

Ainsi, $f'$ est de la forme $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, avec $u'(x)=-\sin x$ et $v'(x)=\cos x$.
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{-\sin x(1+\sin x)-\cos^2x}{(1+\sin x)^2}\\[8pt]
& = \dfrac{-\sin x-\sin^2x-\cos^2x}{(1+\sin x)^2}\\[8pt]
& = \dfrac{-\sin x-(\sin^2x+\cos^2x)}{(1+\sin x)^2}\\[8pt]
\Aboxed{f'(x) & = -\dfrac{\sin x+1}{(1+\sin x)^2}}\quad\text{ car }\cos^2x+\sin^2x=1\text{ pour tout réel }x.
\end{align*}
Or, pour tout réel $x\in\intervOO{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{3\pi}{2}}$, $-1\leqslant\sin x\leqslant 1$ donc $0\leqslant\sin x+1\leqslant2$. 

De plus, $(1+\sin x)^2>0$ donc $f'(x)<0$ sur \intervOO{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{3\pi}{2}}.

\medskip

\underline{Ainsi, $f$ est strictement décroissante sur \intervOO{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{3\pi}{2}}.}
\end{enumerate}
\vspace*{2cm}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{parité et périodicité}[1]
On considère la fonction définie sur $\R$ par : $ f(x)=\sin^3x\cos(3x).$

Montrer que $f$ est $\pi$-périodique et impaire.

\tcblower

\begin{itemize}
\item Montrons d'abord que $f$ est $\pi$-périodique.
\begin{align*}
f(x+\pi) & = \big[\sin(x+\pi)\big]^3\cos\big[3(x+\pi)\big]\\
& = \big[-\sin x\big]^3\cos(3x+3\pi)\\
& = -\sin^3x\cos(3x+\pi)\\
& = -\sin^3x\big[-\cos(3x)\big]\\
& = \sin^3x\cos(3x)\\
\Aboxed{f(x+\pi) & = f(x)}
\end{align*}

La fonction $f$ est donc $\pi$-périodique ; on peut donc restreindre l'intervalle d'étude de $f$ à un intervalle d'amplitude $\pi$, par exemple \intervFF{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{2}}.

\item Montrons que $f$ est impaire. Le domaine de définition de $f$ est centré en 0. De plus,

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
$\begin{aligned}
f(-x) & = \big[\sin(-x)\big]^3\cos(-3x)\\
& = \big[-\sin x\big]^3\cos(3x)\\
& = -\sin^3x\cos(3x)\\
\Aboxed{f(-x) & = -f(x)}
\end{aligned}$
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
La fonction $f$ est donc impaire ; on peut donc réduire l'intervalle d'étude précédent à sa moitié, donc à \intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}}.
\end{minipage}
\end{itemize}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{parité et périodicité}[1]
On considère la fonction définie sur $\R$ par :
\[ f(x)=\cos^3x\cos(3x). \]
Montrer que $f$ est $\pi$-périodique et paire.

\tcblower

\begin{itemize}
\item Montrons d'abord que $f$ est $\pi$-périodique.
\begin{align*}
f(x+\pi) 
& = \big[\cos(x+\pi)\big]^3\cos\big(3(x+\pi)\big)\\
& = \big[-\cos x\big]^3\cos(3x+3\pi)\\
& = -\cos^3x\cos(3x+\pi)\\
& = -\cos^3x\big(-\cos(3x)\big)\\
& = \cos^3x\cos(3x)\\
\Aboxed{f(x+\pi) & = f(x)}
\end{align*}
\underline{Donc $f$ est $\pi$-périodique.}

On peut donc réduire l'intervalle d'étude à un intervalle d'amplitude $\pi$, par exemple \intervFF{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{2}}.

\item Montrons que $f$ est paire. D'abord, le domaine de définition de $f$ est centré en 0.

De plus, $\begin{aligned}[t]
f(-x) & = \big[\cos(-x)\big]^3\cos(-3x)\\
& = \big[\cos x\big]^3\cos(3x)\\
& = \cos^3x\cos(3x)\\
\Aboxed{f(-x) & = f(x)}
\end{aligned}$

\underline{Donc $f$ est paire.}
\end{itemize}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{en sciences physiques}[1]
En sciences physiques, notamment en électricité ou en acoustique, on rencontre souvent des fonctions $f$ de la forme:
\[
f(t)=a\sin(\omega t + \varphi)
\]
où $\varphi$ est appelé la \textit{phase} et $\omega$, la \textit{pulsation}.

Montrer que pour tout réel $t$:
\[
f''(t) + \omega^2 f(t)=0.
\]

\tcblower

$f(t) = a\sin(\omega t+\varphi)$ donc :
\[
f'(t) = a \times \omega\cos(\omega t + \varphi).
\]
En effet, on sait que la dérivée de $x\mapsto\sin x$ est $x\mapsto\cos x$.

De plus, on sait que la dérivée de $f(at+b)$ est $af'(at+b)$.

\medskip

Sur le même principe, on a alors :
\[
f''(t) = a\omega \times (-\omega\sin(\omega t+\varphi) = -a\omega\sin(\omega t+\varphi) = -\omega^2 f(t).
\]
Ainsi, 
\[
f''(t) + \omega^2f(t) = -\omega^2f(t)+\omega^2f(t)=0.
\]

\begin{rem}
On dit alors que $f$ est solution de l'équation  $y''+\omega^2 y=0$, équation dont l'inconnue est une fonction $y$.

Quand une équation de ce type admet comme inconnue une fonction, mais aussi sa dérivée et/ou sa dérivée seconde, on parle d'\textbf{équation différentielle}. On parlera de ce type d'équations dans le chapitre \ref{chap:equadif}.
\end{rem}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{étude d'une fonction}[2]
On considère la fonction $f$ définie sur \intervOO{-\dfrac{\pi}{4}}{\dfrac{\pi}{4}} par :
\[
f(x) = \dfrac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item En déduire alors le sens de variations de $f$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$  avec :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=\sin x+\cos x$

$u'(x)=\cos x - \sin x$

\columnbreak

$v(x)=\sin x-\cos x$

$v'(x)=\cos x+\sin x$
\end{multicols}

Ainsi,\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{(\cos x-\sin x)(\sin x-\cos x)-(\sin x+\cos x)(\cos x+\sin x)}{(\sin x-\cos x)^2}\\
& = \dfrac{\textcolor{red}{-(\sin x-\cos x)^2}\textcolor{blue}{-(\sin x+\cos x)^2}}{(\sin x-\cos x)^2}\\
& = \dfrac{\textcolor{red}{-\sin^2x+2\sin x\cos x-\cos^2x}\textcolor{blue}{-\sin^2x-2\sin x\cos x-\cos^2x}}{(\sin x-\cos x)^2}\\
& = \dfrac{-2\sin^2x-2\cos^2x}{(\sin x-\cos x)^2}\\
& = \dfrac{-2(\cos^2x+\sin^2x)}{(\sin x-\cos x)^2}\\
& = \dfrac{-2}{(\sin x-\cos x)^2}\text{ car }\cos^2x+\sin^2x=1.
\end{align*}

\item On en déduit que $f'(x)<0$ sur \intervOO{-\dfrac{\pi}{4}}{\dfrac{\pi}{4}} (car $-2<0$ et $(\sin x-\cos x)^2>0$).

Ainsi, $f$ est strictement décroissante sur \intervOO{-\dfrac{\pi}{4}}{\dfrac{\pi}{4}}.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{étude d'une fonction}[2]
On considère la fonction $f(x)=\cos x-1+\dfrac{1}{2}x^2$ définie sur \R.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$.
\item Montrer que $f''(x)\geqslant0$ pour tout réel $x$ et en déduire les variations de la fonction $f'$.
\item Calculer $f'(0)$ et en déduire les variations de $f$ sur \R.
\item Montrer alors que pour tout réel $x$, $\cos x \geqslant 1-\dfrac{1}{2}x^2$.
\item En considérant une autre fonction $g(x)$, montrer de la même façon que pour tout réel $x$, $\cos x \leqslant 1-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{24}x^4$.
\item Donner un encadrement de $\cos\dfrac{\pi}{50}$. Sachant que $\dfrac{\pi^4}{\numprint{150000000}}<10^{-6}$, que cela vous inspire-t-il pour la valeur approchée de $\cos\dfrac{\pi}{50}$ à $10^{-6}$ près ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f'(x)=-\sin x+x$ et $f''(x)=-\cos x+1$.

\item On sait que pour tout réel $x$,
\[
-1 \leqslant -\cos x \leqslant 1
\]
donc, en ajoutant 1 à chaque membre de cet encadrement, on a :
\[
0 \leqslant f''(x) \leqslant2.
\]
\underline{Donc $f''(x)\geqslant0$ sur \R, ce qui signifie que $f'$ est croissante sur \R.}


\item $f'(0)=-\sin0+0=0$. Or, $f'$ est croissante sur \R donc :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{$-\infty$,0,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/0,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
$f(0)=\cos0-1+\dfrac{1}{2}\times0^2=1-1+0=0$.

\item Des variations de $f$, on déduit que $f(x)\geqslant0$ sur \R, dont :
\[
\cos x-1+\dfrac{1}{2}x^2 \geqslant0
\]
soit :
\[
\boxed{\cos x \geqslant 1-\dfrac{1}{2}x^2}
\]

\item Considérons la fonction $g(x)=\cos x-1+\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{24}x^4$.

Alors, $g'(x)=-\sin x+x-\dfrac{1}{6}x^3$ et $g''(x)=-\cos x+1-\dfrac{1}{2}x^2=-f(x)$.

Ainsi, pour tout réel $x$, $g''(x)\leqslant0$, ce qui signifie que $g'$ est décroissante sur \R.

$g'(0)=-\sin 0+0=0$ d'où :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$g'(x)$/0.5,$g(x)$/1}{$-\infty$,0,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/,+/0,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}

\end{tikzpicture}
\end{center}
Par conséquent, $g(x)\leqslant0$ sur \R, ce qui signifie que :
\[
\cos x \leqslant 1+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{24}x^4.
\]
\item De ce qui vient d'être fait, on peut écrire :
\[
\forall x\in\R,\quad 1-\dfrac{x^2}{2} \leqslant \cos x \leqslant 1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}.
\]
En prenant $x=\dfrac{\pi}{50}$, cela donne :
\[
1-\dfrac{\pi^2}{\numprint{5000}} \leqslant \cos\dfrac{\pi}{50} \leqslant 1-\dfrac{\pi^2}{\numprint{5000}}+\dfrac{\pi^4}{\numprint{150000000}}.
\]
Puisque $\dfrac{\pi^4}{\numprint{150000000}}<10^{-6}$, on peut alors considérer qu'une valeur approchée de $\cos\dfrac{\pi}{50}$ à $10^{-6}$ près est $1-\dfrac{\pi^2}{\numprint{5000}}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{avec une suite numérique et un soupçon de Python}[3]
On souhaite étudier la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, 
\[
u_{n+1}=\cos u_n.
\]
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire un programme Python permettant de calculer tous les termes jusqu'à $u_{30}$.

\textit{On peut ainsi conjecturer que la suite converge.}

\item \'Ecrire un programme Python permettant de calculer tous les termes jusqu'à ce que la différence entre deux termes consécutifs devienne inférieure ou égale à $10^{-5}$, en affichant l'indice de chaque terme.

\item La suite semble-t-elle monotone ?
\end{enumerate}

On pose pour tout entier naturel $n$:
\[
v_n = u_{2n}.
\]

\begin{enumerate}[start=4]
\item Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
\item Montrer que la fonction $f\;:\;x\mapsto\cos(\cos x)$ est croissante sur \intervOF{0}{1}.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 < v_{n+1} < v_n \leqslant 1$.
\item Déduire alors que la suite converge. Donner alors une valeur approchée de sa limite à $10^{-6}$ près.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Un programme Python possible est le suivant :

\begin{python}
from math import cos
u = 1
for n in range(31):
    u = cos(u)
    print('n = {} et u = {}'.format(n,u))
\end{python}

\begin{console}
n =  0  et u =  0.5403023058681398
n =  1  et u =  0.8575532158463933
n =  2  et u =  0.6542897904977792
[...]
n =  29  et u =  0.7390870426953322
n =  30  et u =  0.7390838469650002
\end{console}


\item Un programme Python possible est le suivant :

\begin{python}
from math import cos
u,n = 1,0
while abs(u-cos(u)) > 10**(-8):
    u = cos(u)
    print('n = {} et u = {}'.format(n,u))
    n += 1
\end{python}

\begin{console}
n =  0  et u =  0.5403023058681398
n =  1  et u =  0.8575532158463933
n =  2  et u =  0.6542897904977792
[...]
n =  42  et u =  0.7390851219886894
n =  43  et u =  0.7390851407774467
n =  44  et u =  0.7390851281211138
\end{console}


\item À la vue des termes calculés, la suite ne semble pas monotone. 

En effet, $u_0 < u_1$, $u_1 > u_2$, $u_2 < u_3$, etc.

\item Pour tout entier naturel $n$, 
\begin{align*}
v_{n+1} & = u_{2(n+1)}\\
        & = u_{2n+2}\\
        & = u_{\textcolor{red}{2n+1}+1}\\
        & = \cos\big(u_{\textcolor{red}{2n+1}}\big)\\
        & = \cos\big(\cos(u_{2n})\big)\\
\Aboxed{v_{n+1} & = \cos\big(\cos(v_n)\big)}
\end{align*}

\item $f(x)=\cos(\cos x)$ donc $f'(x)=-\sin(x) \times \big[-\sin(\cos x)\big] = \sin(x) \times \sin(\cos x)$.

Sur $\intervOF{0}{1}$, $\sin x \geqslant 0$; de plus, $\cos x > 0$ donc $\sin(\cos x) >0$. Ainsi, $f'(x) \geqslant 0$.

\uline{La fonction $f$ est donc croissante sur \intervOF{0}{1}.}

\item 
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} pour $n=0$, $v_0=1$ et $v_1\approx0,86$ donc $0 < v_1 < v_0 \leqslant 1$.

\item \textbf{Hérédité :} supposons que pour un entier $k$ fixé, $0 < v_{k+1} < v_k \leqslant 1$.

Alors, $f(0) < f(v_{k+1}) < f(v_k) \leqslant f(1)$ car $f$ est croissante sur \intervOF{0}{1}.

Or, $f(0)=\cos(\cos 0)\approx0,54>0$ et $f(1)=\cos(\cos 1)\approx0,86<1$. 

Donc $0 < f(v_{k+1}) < f(v_k) \leqslant 1$, soit $0 < v_{k+2} < v_{k+1} \leqslant 1$.

L'hérédité est alors vérifiée.

\medskip

\uline{Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $0 < v_{n+1} < v_n \leqslant 1$.}

\item D'après ce qui vient d'être démontré, $(v_n)$ est décroissante et minorée (par 0). Donc elle converge. Sa limite est donc le nombre $\ell$ tel que $\ell = f(\ell)$. Or, $v_n=u_{2n}$ donc la limite de $(v_n)$ est celle de $(u_n)$. D'après les valeurs données par les algorithmes précédents, on en déduit que \uline{$\ell\approx\numprint{0,739085}$}.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{pour aller plus loin}[3]
On considère le programme Python suivant :

\begin{python}
def factorielle(n):
    if n == 0:
        return 1
    return n * factorielle(n-1)

def sin(x,n):
    s = 0
    for k in range((n+1)//2):
        s += (-1)**k * x**(2*k+1) / factorielle(2*k+1)
    return s
\end{python}

On admet que la fonction \texttt{factorielle(n)} renvoie la valeur $n!$, c'est-à-dire le résultat de l'opération : $1\times2\times3\times\cdots\times (n-1)\times n$.

\begin{enumerate}
\item Implémentez ce programme et testez-le en appelant :
\begin{itemize}
\begin{multicols}{3}
\item \texttt{sin(0.5236,5)}
\item \texttt{sin(0.7854,5)}
\item \texttt{sin(0.7854,100)}
\end{multicols}
\end{itemize}

\item Calculez avec votre calculatrice $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{4}$, puis $\sin\dfrac{\pi}{6}$ et $\sin\dfrac{\pi}{4}$. Comparez les résultats obtenus avec ceux de la question précédente. Qu'est-ce que cela vous inspire ?

\item Testez le programme avec \texttt{sin(2.0944,100)} $\left(\dfrac{2\pi}{3}\approx2,0944\right)$. 

Quelle conclusion peut-on faire ?

\item Testez le programme avec \texttt{sin(40,100)}.  Que cela vous inspire-t-il ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item En testant le programme, nous avons successivement :
\begin{console}
>>> sin(0.5236,5)
0.500003192986266

>>> sin(0.7854,5)
0.707144345044458

>>> sin(0.7854,100)
0.7071080798594735
\end{console}

\item Avec la calculatrice, on trouve que $\dfrac{\pi}{6}\approx0,5236$, $\dfrac{\pi}{4}\approx0,7854$. De plus, $\sin\dfrac{pi}{6}=0,5$ et $\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\approx0,7071067811865476$.

On constate alors que l'on retrouve à peu près les mêmes valeurs que celles obtenues à la question 1.

On peut alors supposer que la fonction \texttt{sin(x,n)} renvoie la valeur de $\sin(x)$, l'argument \og $n$ \fg{} pouvant éventuellement servir pour affiner la précision de la valeur renvoyée. 

\item On a :
\begin{console}
>>> sin(2.0944,100)
0.8660229549706501
\end{console}

Or, $\sin\dfrac{2\pi}{3}=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\approx0,8660254037844386$. Cela nous conforte dans l'idée que nous avons émise précédemment : la fonction renvoie le sinus de la valeur $x$.

\item On a:
\begin{console}
>>> sin(40,100)
-62.42184391235605
\end{console}

Un sinus étant toujours compris entre $-1$ et 1, ce dernier résultat ne doit pas nous inspirer quelque chose de positif... La fonction semble avoir ses limites.

Par curiosité, j'ai souhaité savoir à partir de quelle valeur entière de $x$ la différence entre $\sin(x)$ et le résultat renvoyé par la fonction était supérieur à 1. J'ai dû pour cela renommer ma fonction en \og \texttt{f(x,n)} \fg{} car j'ai importé la fonction $\sin$ du module \texttt{math}:

\begin{python}
from math import sin

def factorielle(n):
    if n == 0:
        return 1
    return n * factorielle(n-1)

def f(x,n):
    s = 0
    for k in range((n+1)//2):
        s += (-1)**k * x**(2*k+1) / factorielle(2*k+1)  
    return s

x = 0
while abs( f(x,100) - sin(x) ) < 1:
    x += 1
    
print("Pour x = {}, la fonction renvoie {}; or, sin({})={}.\nLa différence est : {}".format(x, f(x,100), x, sin(x), abs(sin(x)-f(x,100))))
\end{python}

Il affiche $x=39$, avec une différence de 5,26 entre $\sin(39)$ et $f(39,100)$. En modifiant légèrement ce dernier programme, on constate que pour $x<30$, la différence est inférieure à $2\times10^{-5}$; ceci nous pousse à constater que la fonction \texttt{f(x,100)} donne une très bonne approximation de $\sin(x)$ pour des valeurs inférieures à 30.
\end{enumerate}
\end{exocor}


\corriges
