On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=u_n+2n+3\quad,\qquad \forall n\in\N
\end{array}
\right.
\]
\begin{enumerate}
\item \'Etudier la monotonie de $\suite{u}{n}{}$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n^2$.
\item Déterminer alors la limite de $\suite{u}{n}{}$.
\end{enumerate}
\item Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis démontrer la propriété conjecturée.
\end{enumerate}

