On se donne deux points distincts A$_0$ et B$_0$.

Soit A$_1$ le milieu du segment [A$_0$B$_0$] et B$_1$ celui de [A$_0$A$_1$].

De façon générale, pour tout entier naturel $n$, on désigne par :
\[
\text{A}_{n+1}~\text{le milieu du segment}~[\text{A}_n\text{B}_n]\quad\text{et}\quad\text{B}_{n+1}~\text{le milieu du segment}~[\text{A}_n\text{A}_{n+1}].
\]

On munit la droite $(\text{A}_0\text{B}_0)$ du repère $\left(\text{A}_0~;\vv{\imath}\right)$ avec $\vv{\imath}=\vv{\text{A}_0\text{B}_0}$.

On note $a_n$ et $b_n$ les abscisses respectives des points A$_n$ et B$_n$ dans le repère$\left(\text{A}_0~;\vv{\imath}\right)$.

On a donc $a_0 = 0$ et $b_0 = 1$.

\begin{enumerate}
\item Construire une droite (A$_0$B$_0$) en prenant A$_0$B$_0$ = 10 cm.

Sur cette droite, placer les points A$_1$ et B$_1$, puis les points A$_2$ et B$_2$.

Calculer les valeurs de $a_1$, $b_1$, $a_2$ et $b_2$.

\item Exprimer $a_{n +1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.

\item Démontrer que la suite \suite{u}{n}{} définie par :
\[u_n=a_n-b_n\]
est géométrique.
\item Démontrer que la suite \suite{v}{n}{} définie par :
\[v_n=3a_n+2b_n\]
est constante.

\item Les suites \suite{a}{n}{} et \suite{b}{n}{} sont-elles convergentes ?

Que peut-on en déduire pour les points A$_n$ et B$_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?
\end{enumerate}

