
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
f(x) & = x^3+4x^2-5x+1\\
	   & = x^3\left(1+\dfrac{4}{x}-\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)
\end{aligned}$

Or, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{1}{x^n}}=0$ donc $\limite{x}{+\infty}{\left(1+\dfrac{4}{x}-\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)}=1$.

De plus, $\limite{x}{+\infty}{x^3}=+\infty$ donc par produit, $\boxed{\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty}$


\item \raisebox{-1em}{$\begin{aligned}[t]
\left.
\begin{array}{l}
\limite{x}{+\infty}{\dfrac{1}{x}}=0\\[10pt]
\limite{X}{0}{\sin X}=0
\end{array}
\right\}\Rightarrow\boxed{\limite{x}{+\infty}{\sin\dfrac{1}{x}}=0}
\end{aligned}$}


\item $\begin{aligned}[t]
h(x) & = \sqrt{x^2+2x+3}\\
	   & = \sqrt{x^2\left(1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}\right)}\\
	   & = x\sqrt{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}}\quad\text{pour $x>0$}
\end{aligned}$

Or, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{1}{x^n}}=0$ donc $\limite{x}{+\infty}{\left(1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}\right)}=1$.

Donc, par produit, $\boxed{\limite{x}{+\infty}{g(x)}=+\infty}$

\item \raisebox{-1em}{$\begin{aligned}[t]
\left.
\begin{array}{l}
\limite{x}{+\infty}{x^2+1}=+\infty\\[10pt]
\limite{x}{+\infty}{\sin\dfrac{1}{x}}=0^+
\end{array}
\right\}\Rightarrow\text{ par quotient : }\boxed{\limite{x}{+\infty}{k(x)}=+\infty}
\end{aligned}$}
\end{enumerate}
