Une entreprise pharmaceutique étudie la dilution dans le sang d'un nouveau produit. Après observations, elle modélise le taux de  présence dans le sang de ce produit à l'aide de la fonction $f$ définie par:
\[
f(t)=1,5(t+1)\e^{-t}-0,5
\]
où $t$ est le temps, exprimé en heures, écoulé depuis son injection.

Ainsi, $f(0)=1$ signifie que \pourcent{100} du produit est initialement présent dans le sang.

\begin{enumerate}
\item Quel est, en pourcentage, le taux de présence de ce produit après 1 heure ?
\item Montrer que la dérivée de $f(t)$ peut s'exprimer sous la forme : $f'(t)=-1,5t\e^{-t}$.
\item Quel est le sens de variation de $f$ sur \intervFO{0}{+\infty} ?
\item Calculer $\limite{t}{+\infty}{f(t)}$.
\item Montrer que l'équation $f(t)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur \intervFO{0}{+\infty}. Donner alors une valeur approchée de $\alpha$ au centième. 

Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice.

\item On admet que la dérivée seconde de $f$ est:
\[
f''(t)=1,5(t-1)\e^{-t}.
\]
Déterminer à quel moment la vitesse de dilution du produit commence à diminuer.
\end{enumerate}

