
\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation:} $0 < u_0 < 1$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.

\item \textbf{Hérédité:} supposons que pour un entier $k$ fixé, $0 < u_k < 1$.
\begin{align*}
0 < u_k < 1 & \Rightarrow -1 < -u_k < 0\\
& \Rightarrow 2 < 3-u_k < 3\\
& \Rightarrow \frac{1}{3} < \frac{1}{3-u_k} < \frac{1}{2}\\
& \Rightarrow \frac{2}{3} < \frac{2}{3-u_k} < 1\\
& \Rightarrow 0 < u_{k+1} < 1.
\end{align*}

Ainsi, la propriété est héréditaire.
\end{itemize}

D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $0<u_n<1$.

\item $\begin{aligned}[t]
u_{n+1}-u_n & = \frac{2}{3-u_n}-u_n = \frac{2-u_n(3-u_n)}{3-u_n} = \frac{u_n^2-3u_n+2}{3-u_n} = \frac{(u_n-1)(u_n-2)}{3-u_n}.
\end{aligned}$

Or, pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n < 1$ donc :
\begin{itemize}
\item $u_n-1 < 0$
\item $u_n-2 < 0$
\item $3-u_n > 0$
\end{itemize}
Par conséquent, $u_{n+1}-u_n>0$. Ainsi, \suite{u}{n}{} est strictement croissante.

\item \suite{u}{n}{} est bornée, donc majorée, et strictement croissante donc, d'après le théorème de convergence des suites monotones, elle converge.

On pose $\ell$ sa limite. Alors, 
\begin{align*}
\ell = \frac{2}{3-\ell} & \iff \ell(3-\ell)=2\\
& \iff \ell^2-3\ell+2=0\\
& \iff \ell=1\text{ ou }\ell=2.
\end{align*}

Or, $0<u_n<1$ donc $0<\ell<1$.

\medskip


\underline{Par conséquent, $\limite{n}{+\infty}{u_n}=1$.}

On en déduit alors que:
\[
\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ddots}}}}=1.
\]
\end{enumerate}
