On considère la fonction $f$ définie sur $\R*_+$ par :
\[ f(x)=\e^{-x}-\sqrt{x}\]
dont la courbe représentative dans un repère orthonormé $\Rij$ est nommée $\mathcal{C}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $\R*_+$.
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur \intervOO{0}{1}. On la notera $\alpha$.
\item Montrer que l'équation réduite de la tangente $(T_0)$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x=1$ est :
\[ y=-\left(\frac{2+\e}{2\e}+1\right)x+\frac{4-\e}{2\e}.\]
\end{enumerate}

\medskip

On considère la suite \suite{x}{n}{n\geqslant0} définie par $x_0=1$ et en considérant que pour tout entier naturel $n$, $x_{n+1}$ est l'abscisse du point d'intersection de la tangente $(T_n)$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x_n$ et de l'axe des abscisses.

Ainsi, $x_1$ est l'abscisse du point d'intersection de $(T_0)$ et de l'axe des abscisses.

\begin{enumerate}[start=4]
\item Montrer que $x_1=\dfrac{4-\e}{2+\e}$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que sur $\R*_+$, $f'(x)\neq0$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ :
\[ x_{n+1}=x_n-\dfrac{f\left(x_n\right)}{f'\left(x_n\right)}.\]
\end{enumerate}

\newpage

\item On considère le programme Python suivant :
\begin{python}
from math import exp,sqrt
x = 1
for i in range(4):
    x = x - (exp(-x) - sqrt(x)) / (-exp(-x)-1/(2*sqrt(x)))
    print(x)
\end{python}
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs affichées par ce programme ?

\item \`A quoi correspondent-elles ?
\item \'Emettre une conjecture quant à la limite de la suite \suite{x}{n}{n\geqslant0}.
\end{enumerate}


\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, $\mathcal{C}$ est toujours au-dessus de $(T_n)$.

Expliquer les raisons pour lesquelles, pour tout entier naturel $n\geqslant1$, $x_n\leqslant\alpha$.

\item Montrer que la suite \suite{x}{n}{n\geqslant0} est croissante.

En déduire qu'elle converge vers $\alpha$.
\end{enumerate}

