
\begin{enumerate}
\item $\limite{x}{+\infty}\dfrac{1-\sin x}{x^2}$. Pour tout réel $x$ non nul, 
\begin{align*}
-1 \leqslant \sin x \leqslant x & \iff -1 \leqslant -\sin x \leqslant 1\\
& \iff 0 \leqslant 1-\sin x \leqslant 2\\
& \iff  0\leqslant \dfrac{1-\sin x}{x^2} \leqslant \dfrac{2}{x^2}.
\end{align*}

Or, 
\[
\limite{x}{+\infty}\dfrac{2}{x^2}=0
\]
donc d'après le théorème des gendarmes,
\[
\boxed{\limite{x}{+\infty}\dfrac{1-\sin x}{x^2} = 0}
\]


\item $\limite{x}{-\infty}\cos(x)\e^x$.

Pour tout réel $x$,
\[
-1 \leqslant \cos x \leqslant 1 \iff -\e^x \leqslant \cos(x)\e^x \leqslant \e^x.
\]
Or, $\limite{x}{-\infty}\e^x = 0$ donc d'après le théorème des gendarmes,
\[
\boxed{\limite{x}{-\infty}\cos(x)\e^x=0}
\]

\item $\limite{x}{+\infty}(x^2-\sin x)$. Pour tout réel $x$,
\[
-1 \leqslant -\sin x \leqslant x \iff \boxed{x^2-1 \leqslant x^2 -\sin x} \leqslant x^2+1
\]
En tenant compte de ce qui est encadré, et d'après le théorème de comparaison,
\[
\limite{x}{+\infty}(x^2-1)=+\infty \iff \boxed{\limite{x}{+\infty}(x^2-\sin x)=+\infty}
\]

\item $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{4x+3}{x-7\sin x}}$.
\begin{align*}
\forall x\in\R_+,\qquad -1 \leqslant \sin x \leqslant 1 & \iff -7 \leqslant -7\sin x \leqslant 7\\
& \iff x-7 \leqslant x-7\sin x \leqslant x+7\\
& \iff \dfrac{1}{x+7} \leqslant \dfrac{1}{x-7\sin x} \leqslant \dfrac{1}{x-7}\\
& \iff \dfrac{4x+3}{x+7} \leqslant \dfrac{4x+3}{x-7\sin x} \leqslant \dfrac{4x+3}{x-7}\quad\text{ car }4x+3>0.
\end{align*}
Or, $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{4x+3}{x\pm7}}=\limite{x}{+\infty}{\dfrac{4x}{x}}=4$.

Ainsi, d'après le théorème des gendarmes,
\[
\boxed{ \limite{x}{+\infty}{\dfrac{4x+3}{x-7\sin x}} = 4 }
\]
\end{enumerate}
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