\textit{Dans cet exercice, on acceptera la propriété suivante :}
\[
\text{Pour tous réels $a$ et $b$, }\qquad a\ln b = \ln \big(b^a\big).
\]
\textit{(Dans le cours, nous avons vu qu'elle était vraie pour $a$ \uline{entier})}

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On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par : \[ f(x)=\e\ln x - x. \]

\begin{enumerate}
\item Calculer $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)$.
\item Calculer $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)$.
\item Calculer $f'(x)$ et étudier les variations de $f$. Dresser un tableau de variations de $f$.
\item Comparer alors les nombres $\pi^\e$ et $\e^\pi$.
\end{enumerate}

