Lorsque l'on prend des antibiotiques, la concentration de bactéries présentes dans le corps d'une personne malade diminue avec le temps en suivant le modèle d'une fonction $f$ définie, pour $0\leqslant t\leqslant 6$, par :
\[ f(t)=a\e^{kt}+b\quad,\quad a,\ b,\ k\ \text{étant trois réels},\ \text{avec }a\neq0,\]
où $t$ désigne le temps (exprimé en jour) et où $f(t)$ représente le taux de bactéries restantes.

Ainsi, $f(0)=1$. On suppose que la totalité des bactéries sont éliminées après 6 jours. Donc $f(6)=0$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(t)=a\e^{\frac{1}{6}\ln\left(1-\frac{1}{a}\right)t}+1-a$.
\item On sait que \pourcent{50} des bactéries disparaissent au bout de deux jours.

En déduire que $a\e^{\frac{1}{3}\ln\left(1-\frac{1}{a}\right)}+\dfrac{1}{2}-a=0$.
\end{enumerate}

Pour tout nombre réel $x>1$, on pose :
\[g(x)=x\e^{\frac{1}{3}\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)}-x+\frac{1}{2}.\]

\begin{enumerate}[start=3]
\item Montrer que $g'(x)=\left(1+\dfrac{1}{3x-3}\right)\e^{\frac{1}{3}\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)}-1$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer \limite{x}{+\infty}{g'(x)}.
\item On admet que $g''(x)=\dfrac{-2}{9x(x-1)}\e^{\frac{1}{3}\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)}$.

En déduire les variations de la fonction $g'$ puis celles de la fonction $g$ sur \intervOO{1}{+\infty}.
\end{enumerate}

\item Montrer alors que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur \intervOO{1,3}{1,4}.

On admet que $\alpha\approx1,309$.
\end{enumerate}

