Soit $f$ la fonction définie par :
\[
f(x)=k\ln(ax+b)
\]
où $a$, $b$ et $k$ sont trois nombres réels non nuls.

\begin{enumerate}
\item On sait que $f(1)=1$. Montrer alors que $a+b=\e^{\frac{1}{k}}$.
\item On sait de plus que $f'(1)=1$. Montrer alors que $a=\dfrac{b}{k-1}$.

\item En déduire que $b=\left(\dfrac{k-1}{k}\right)\e^{\frac{1}{k}}$ puis que $a=\dfrac{1}{k}\e^{\frac{1}{k}}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(0)=1+k\ln\left(1-\dfrac{1}{k}\right)$.
\item On souhaite que $f(0)\approx\dfrac{1}{2}$. Est-ce possible ? Si oui, donner une valeur approchée de $k$ au dixième près.

\textit{Aide : on pensera à appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur une fonction appropriée et sur l'intervalle \intervFF{-1}{-0,2} par exemple.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

