On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
\begin{cases}
u_0 = 1\\
u_{n+1} = \ln\left(1+\dfrac{1}{u_n}\right)
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire un programme en Python permettant d'afficher les termes de $u_1$ à $u_{50}$.
\item À l'aide de ce programme, conjecturer la limite de $(u_n)$.
\end{enumerate}

On se propose de démontrer cette conjecture.

Pour cela, on pose pour tout entier naturel $n$ :
\[
v_n = u_{2n} \qquad\text{et}\qquad w_n = u_{2n+1}.
\]

\begin{enumerate}[start=3]
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $v_n\leqslant1$.

On démontre de façon analogue que $w_n \leqslant 1$.

\item Montrer que la fonction $x\mapsto\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$ est décroissante sur \intervOO{0}{+\infty}.

\item En déduire que $(v_n)$ est décroissante.

On démontre de même que $(w_n)$ est croissante.

\item Démontrer que $w_n \leqslant  v_n$ pour tout entier naturel $n$.

\item Montrer que $(v_n)$, $(w_n)$ et $(u_n)$ convergent vers une même limite.
\end{enumerate}

