\begin{rem}
Cet exercice traite de la même suite que celle vue dans l'exercice précédent, mais abordée d'une autre manière.
\end{rem}

\partie{A}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R*_+$ par :
\[
f(x)=\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right).
\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f(x)$ aux bornes de son domaine de définition.
\item Calculer $f'(x)$ puis déterminer le sens de variations de $f$ sur $\R*_+$.
\item Dresser un tableau de variations complet de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{B}

On considère la fonction $g$ définie sur $\R*_+$ par :
\[ g(x)=f(x)-x. \]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $g$ est strictement décroissante sur $\R*_+$.
\item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur \intervFF{\frac{1}{2}}{1}.\\
En déduire que l'équation $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $f(x)=x$ sur $\R*_+$.
\end{enumerate}

\partie{C}


On considère la suite \suite{u}{n}{} définie par : $\left\lbrace\begin{array}{l}
u_0 = 1\\
u_{n+1}=f\left(u_n\right) \quad,\quad \forall n\in\N
\end{array} \right.$

On définit alors la suite \suite{v}{n}{} par :
\[ \forall n\in\N,\qquad v_n=u_{2n}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $v_0$, $v_1$ puis $v_2$. On donnera des valeurs approchées au millième.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=f\left(f\left(u_{2n}\right)\right)$.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,
\[ \frac{1}{2}\leqslant v_{n+1} \leqslant v_n \leqslant 1.\]
\item En déduire que \suite{v}{n}{} converge.
\item En déduire que \suite{u}{n}{} et \suite{v}{n}{} ont la m\^eme limite $\alpha$, où $\alpha$ est la valeur introduite dans la partie B.
\end{enumerate}

\partie{D}

On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\ttfamily\tiny\arraybackslash}r|*3{>{\ttfamily\arraybackslash}l}|}
\hline
&\multicolumn{3}{l|}{\textbf{Entrées}}\\
1&\hspace*{.25cm}~ & \multicolumn{2}{l|}{a nombre réel}\\
2&\hspace*{.25cm}~ & \multicolumn{2}{l|}{n nombre entier}\\
3&\hspace*{.25cm}~ & \multicolumn{2}{l|}{d nombre réel}\\
&\multicolumn{3}{l|}{\textbf{Traitement}}\\
4&\hspace*{.25cm}~ & \multicolumn{2}{l|}{a prend la valeur 1}\\
5&\hspace*{.25cm}~ & \multicolumn{2}{l|}{n prend la valeur 0}\\
6&\hspace*{.25cm}~ & \multicolumn{2}{l|}{d prend la valeur 1}\\
7&\hspace*{.25cm}~ & \multicolumn{2}{l|}{Tant que d >  $10^{-6}$}\\
8&\hspace*{.25cm}~ & \hspace*{.25cm}~ & d prend la valeur a\\
9&\hspace*{.25cm}~ & \hspace*{.25cm}~ & a prend la valeur ln(1+1/a)\\
10&\hspace*{.25cm}~ & \hspace*{.25cm}~ & a prend la valeur ln(1+1/a)\\
11&\hspace*{.25cm}~ & \hspace*{.25cm}~ & n prend la valeur n+1\\
12&\hspace*{.25cm}~ & \hspace*{.25cm}~ & d prend la valeur d-a\\
13&\hspace*{.25cm}~ & \multicolumn{2}{l|}{Fin du Tant que}\\
&\multicolumn{3}{l|}{\textbf{Sortie}}\\
14&\hspace*{.25cm}~ & \multicolumn{2}{l|}{Afficher a}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Un élève affirme qu'il y a une erreur car les lignes 9 et 10 sont identiques.\\
Expliquer en quoi cet élève se trompe.
\item Que doit-on écrire pour ne pas répéter ces deux lignes ?
\item Implanter cet algorithme en Python puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-6}$ près.
\end{enumerate}

