On considère la fonction $f(x)=\cos x-1+\dfrac{1}{2}x^2$ définie sur \R.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$.
\item Montrer que $f''(x)\geqslant0$ pour tout réel $x$ et en déduire les variations de la fonction $f'$.
\item Calculer $f'(0)$ et en déduire les variations de $f$ sur \R.
\item Montrer alors que pour tout réel $x$, $\cos x \geqslant 1-\dfrac{1}{2}x^2$.
\item En considérant une autre fonction $g(x)$, montrer de la même façon que pour tout réel $x$, $\cos x \leqslant 1-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{24}x^4$.
\item Donner un encadrement de $\cos\dfrac{\pi}{50}$. Sachant que $\dfrac{\pi^4}{\numprint{150000000}}<10^{-6}$, que cela vous inspire-t-il pour la valeur approchée de $\cos\dfrac{\pi}{50}$ à $10^{-6}$ près ?
\end{enumerate}

