On souhaite étudier la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, 
\[
u_{n+1}=\cos u_n.
\]
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire un programme Python permettant de calculer tous les termes jusqu'à $u_{30}$.

\textit{On peut ainsi conjecturer que la suite converge.}

\item \'Ecrire un programme Python permettant de calculer tous les termes jusqu'à ce que la différence entre deux termes consécutifs devienne inférieure ou égale à $10^{-5}$, en affichant l'indice de chaque terme.

\item La suite semble-t-elle monotone ?
\end{enumerate}

On pose pour tout entier naturel $n$:
\[
v_n = u_{2n}.
\]

\begin{enumerate}[start=4]
\item Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
\item Montrer que la fonction $f\;:\;x\mapsto\cos(\cos x)$ est croissante sur \intervOF{0}{1}.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 < v_{n+1} < v_n \leqslant 1$.
\item Déduire alors que la suite converge. Donner alors une valeur approchée de sa limite à $10^{-6}$ près.
\end{enumerate}

