
\begin{enumerate}
\item On souhaite résoudre l'équation différentielle : $y'+\pi y = 1$.

On applique le résultat du cours; les solutions sont alors:
\[
y'(x)=C\e^{-\pi x}-\dfrac{1}{\pi},\quad C\in\R.
\]
\item On souhaite résoudre l'équation différentielle (E) : $y'-5y=x$.

\begin{itemize}
\item L'équation homogène associée $\rm(E_0):y'-5y=0$ admet pour solutions:
\[
y_0(x)=C\e^{5x},\quad C\in\R.
\]
\item On cherche une solution particulière de (E) de la forme $u(x)=ax+b$ (car le second membre de (E) est une fonction affine). Ainsi,
\begin{align*}
u'(x)-5u(x)=x & \iff (ax+b)-5(a)=x\\
& \iff ax+(b-5a)=x\\
& \iff \begin{cases}
a &= 1\\
b-5a=0
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
a = 1\\
b = 5
\end{cases}
\end{align*}
Par conséquent,
\[
u(x)=x+5
\]
est une solution particulière de (E).
\item On en déduit alors que les solutions de (E) sont:
\[
y(x)=x+5+C\e^{5x},\quad C\in\R.
\]
\end{itemize}
\end{enumerate}
