L'objectif de cet exercice est de déterminer une approximation de l'aire du domaine $\mathcal{D}$ défini par :
\[
\mathcal{D}=\big\{0\leqslant x\leqslant1, 0\leqslant y\leqslant f(x) \big\}
\]
où
\[
\forall x\in\R,\qquad f(x)=\big(\ln(1+x)\big)^2.
\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Rij{}, avec pour unité graphique : $\|\vv{\imath}\|=\|\vv{\jmath}\|=10~\text{cm}$.

\bigskip

\partie{A : étude des variations de la fonction}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la dérivée de $f$ sur \intervFO{0}{+\infty}.
\item En déduire les variations de $f$ sur \intervFO{0}{+\infty}.
\item Calculer $f(0)$ et $f(1)$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur \intervFF{0}{1}.
\item Calculer $f'(0)$. En déduire l'équation de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
\item Tracer dans \Rij{} $\mathcal{C}$ en faisant appara\^itre la tangente $\mathcal{T}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{B : calcul de l'approximation de l'aire}

On considère :

\begin{itemize}
\item Les points $A_k\coord{\dfrac{k}{10}}{0}$ pour tout entier naturel $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant10$ ;
\item Les rectangles $R_k$ de base $\left[A_kA_{k+1}\right]$ et de hauteur $f\left(\dfrac{k}{10}\right)$ pour tout entier naturel $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant 9$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique précédent, dessiner les rectangles $R_k$, $0\leqslant k\leqslant 9$.

\item Calculer la somme des aires des rectangles $R_k$ pour $k$ compris entre 0 et 9. On donnera le résultat en unité d'aire et en cm$^2$ à $10^{-3}$ près.

\item On suppose que la fonction $F$ définie par :
\[
F(x)=(x+1)\left[\left(\ln(x+1)\right)^2-2\ln(x+1)+2 \right]
\]
est une primitive de $f$ sur \intervFF{0}{1}.

En déduire la valeur exacte, puis approchée à $10^{-3}$ près, de l'aire de $\mathcal{D}$.

Calculez l'erreur entre cette valeur et celle obtenue à la question précédente.
\end{enumerate}

